Logarithme népérien ln(x) : courbe, propriétés, dérivée et primitive

Le logarithme népérien \ln x répond à la question « à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir x ? ». C'est la réciproque de la fonction exponentielle, et sa dérivée est l'expression remarquablement simple \frac{1}{x}, ce qui en fait le logarithme de référence en analyse.

Définition et formule

De manière équivalente, \ln x est l'aire sous la courbe de la fonction inverse entre 1 et x :

Courbe de ln x

Propriétés principales

• Domaine de définition (0, \infty), ensemble image tous les réels.
• Valeurs clés : \ln 1 = 0, \ln e = 1, \ln e^k = k.
• Strictement croissante partout (\frac{1}{x} > 0) et concave (-\frac{1}{x^2} < 0).
• Asymptote verticale x = 0 : \lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty. De plus \lim_{x \to \infty}\ln x = \infty, mais très lentement ; \ln x croît moins vite que toute puissance positive de x.
• Identités de réciprocité : e^{\ln x} = x pour x > 0 et \ln e^x = x pour tout x.

Propriétés algébriques du logarithme

Ces formules sont valables pour a, b > 0. Il n'existe aucune formule pour \ln(a + b).

Dérivée de ln x

Idée de la preuve : si y = \ln x, alors e^y = x. En dérivant implicitement, on obtient e^y y' = 1, donc y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}. Avec la règle de dérivation en chaîne :

Primitive de ln x

Par intégration par parties avec u = \ln x, dv = dx, donc du = \frac{1}{x}\,dx et v = x :

Le sens inverse est le plus fréquent : \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}.

Exemple 2 : simplifier d'abord. \frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}.

Exemple 3 : règle du produit. \frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x.

Exemple 4 : intégrale définie. \int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Exemple 5 : intégrale logarithmique. Avec u = x^2 + 4, \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C. Pas besoin de valeur absolue puisque x^2 + 4 > 0.

Erreurs fréquentes

1. Couper le logarithme d'une somme. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1.
2. Écrire \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}. La règle de dérivation en chaîne donne \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.
3. Écrire \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C. C'est la dérivée, pas la primitive.
4. Confondre \ln x^2 et (\ln x)^2. Le premier vaut 2\ln x ; le second est un carré.
5. Prendre le \ln de 0 ou d'un nombre négatif. Vérifiez le domaine de définition, surtout après un changement de variable.

Liens avec le reste du cours

Prendre le \ln des deux membres transforme des produits et des puissances difficiles en sommes : c'est l'idée de la dérivation logarithmique. Les logarithmes dans d'autres bases ne sont que des logarithmes népériens multipliés par une constante ; voir les fonctions logarithmes. Pour vous entraîner davantage, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.