Natürlicher Logarithmus ln(x): Graph, Regeln, Ableitung, Integral

Der natürliche Logarithmus \ln x beantwortet die Frage: "Mit welcher Potenz von e erhalte ich x?". Er ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion, und seine Ableitung ist das erstaunlich einfache \frac{1}{x}. Deshalb ist er in der Analysis der Logarithmus der Wahl.

Definition und Formel

Gleichwertig ist \ln x die Fläche unter der Kehrwertfunktion von 1 bis x:

Graph von ln x

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich (0, \infty), Wertebereich alle reellen Zahlen.
• Wichtige Werte: \ln 1 = 0, \ln e = 1, \ln e^k = k.
• Streng monoton steigend überall (\frac{1}{x} > 0) und rechtsgekrümmt (-\frac{1}{x^2} < 0).
• Senkrechte Asymptote x = 0: \lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty. Außerdem gilt \lim_{x \to \infty}\ln x = \infty, allerdings sehr langsam; \ln x wächst langsamer als jede positive Potenz von x.
• Umkehrbeziehungen: e^{\ln x} = x für x > 0 und \ln e^x = x für alle x.

Logarithmusgesetze

Diese Gesetze gelten für a, b > 0. Für \ln(a + b) gibt es keine Regel.

Ableitung von ln x

Beweisskizze: Ist y = \ln x, dann gilt e^y = x. Implizites Differenzieren liefert e^y y' = 1, also y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}. Mit der Kettenregel:

Integral von ln x

Mit partieller Integration, u = \ln x und dv = dx, also du = \frac{1}{x}\,dx und v = x:

Häufiger braucht man die umgekehrte Richtung: \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}.

Beispiel 2: erst vereinfachen. \frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}.

Beispiel 3: Produktregel. \frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x.

Beispiel 4: bestimmtes Integral. \int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Beispiel 5: logarithmisches Integral. Mit u = x^2 + 4 gilt \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C. Betragsstriche sind nicht nötig, da x^2 + 4 > 0.

Häufige Fehler

1. Den Logarithmus einer Summe aufteilen. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1.
2. \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x} schreiben. Die Kettenregel liefert \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.
3. \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C schreiben. Das ist die Ableitung, nicht das Integral.
4. \ln x^2 mit (\ln x)^2 verwechseln. Das Erste ist 2\ln x, das Zweite ein Quadrat.
5. \ln von 0 oder einer negativen Zahl bilden. Prüfe den Definitionsbereich, besonders nach einer Substitution.

Zusammenhänge

Wendet man \ln auf beide Seiten an, werden schwierige Produkte und Potenzen zu Summen. Das ist die Idee hinter dem logarithmischen Differenzieren. Logarithmen zu anderen Basen sind nur umskalierte natürliche Logarithmen; siehe Logarithmusfunktionen. Weitere Übungsbeispiele findest du im Leitfaden zu den Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.