Regla de la constante: por qué la derivada de c es 0
La regla de la constante dice que la derivada de cualquier constante es 0. La fórmula, una demostración de una línea, ejemplos con π y e, y errores comunes.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Cualquier expresión que no dependa de x, como 7, \pi, e^2 o \ln 5
- En palabras
- Una constante nunca cambia, así que su razón de cambio es cero
- Significado gráfico
- La gráfica de y = c es una recta horizontal, que tiene pendiente 0 en todos sus puntos
- Versión para integrales
- \int 0\,dx = C, por eso las antiderivadas terminan con +\,C
- Reglas relacionadas
- Regla de la potencia, regla del múltiplo constante, regla de la suma
En esta página
La regla de la constante dice que la derivada de una constante es cero. Una constante nunca cambia, así que su razón de cambio es 0 en todas partes. Es la regla de derivación más sencilla y aparece de forma discreta en casi todas las derivadas que calculas.
Fórmula de la regla de la constante
Para cualquier constante c:
"Constante" significa cualquier cosa que no dependa de la variable respecto de la cual derivas. Eso incluye los números habituales, pero también expresiones como \pi^2, e^3, \sqrt{7}, \sin 1 y \ln 5.
Ejemplos
| Función | Por qué es constante | Derivada |
|---|---|---|
| 7 | Es un número | 0 |
| -12.5 | Es un número | 0 |
| \pi | Es un número, aproximadamente 3.14 | 0 |
| e^3 | No aparece x | 0 |
| \ln 5 | No aparece x | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | Vale \frac{1}{2} | 0 |
Ejemplo: término constante de un polinomio. Con la regla de la suma, cada término se deriva por separado y el término constante desaparece:
Ejemplo: un parámetro. Si a y b son constantes, entonces
El término a^2 parece una potencia, pero no depende de x, así que es una constante.
Por qué funciona la regla de la constante
Usa la definición de derivada como límite con f(x) = c:
También puedes verla como un caso particular de la regla de la potencia: c = c\,x^0, y \frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0 (para x \ne 0).
Constantes sumadas frente a constantes multiplicadas
Aquí es donde la regla de la constante se encuentra con la regla del múltiplo constante:
| Expresión | Derivada | Motivo |
|---|---|---|
| x^3 + 5 | 3x^2 | Una constante sumada desaparece |
| 5x^3 | 15x^2 | Una constante que multiplica se mantiene |
| 5 | 0 | Regla de la constante |
| 5x | 5 | Múltiplo constante de x |
Desplazar una gráfica hacia arriba o hacia abajo sumando una constante no cambia su pendiente en ningún punto, y por eso las constantes sumadas desaparecen. Estirar una gráfica por un factor multiplica todas las pendientes por ese factor, y por eso las constantes que multiplican se mantienen.
La regla de la constante al revés
Como toda constante tiene derivada 0, muchas funciones comparten la misma derivada: x^2, x^2 + 1 y x^2 - 8 tienen todas derivada 2x. Por eso, al integrar hay que sumar una constante arbitraria:
Consulta antiderivadas para saber más sobre por qué hace falta el +\,C.
Errores comunes
- Tratar expresiones constantes como variables. \frac{d}{dx}\,e^2 = 0, no 2e ni e^2. El exponente es un número, no x.
- Anular un múltiplo constante. \frac{d}{dx}\,4x = 4, no 0. Solo una constante sola, o sumada, se convierte en 0.
- Confundir qué variable cambia. \frac{d}{dx}\,t^2 = 0 cuando t es una constante, pero \frac{d}{dt}\,t^2 = 2t. Revisa siempre la variable del denominador de \frac{d}{d\square}.
La regla de la constante suele combinarse con la regla de la potencia y la regla de la suma. Consulta la guía completa sobre la regla de la potencia para practicar las tres a la vez.
Practícalo ahora
Sumas y constantes
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección