Regra da constante para derivadas: por que a derivada de c é 0
A regra da constante diz que a derivada de qualquer constante é 0. A fórmula, uma demonstração de uma linha, exemplos com π e e, e os erros a evitar.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Qualquer expressão que não dependa de x, como 7, \pi, e^2 ou \ln 5
- Em palavras
- Uma constante nunca muda, então sua taxa de variação é zero
- Significado no gráfico
- O gráfico de y = c é uma reta horizontal, que tem inclinação 0 em todo ponto
- Versão para integrais
- \int 0\,dx = C, e é por isso que as antiderivadas terminam com +\,C
- Regras relacionadas
- Regra da potência, regra da constante multiplicativa, regra da soma
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A regra da constante diz que a derivada de uma constante é zero. Uma constante nunca muda, então sua taxa de variação é 0 em todo lugar. É a regra de derivação mais simples, e aparece discretamente em quase toda derivada que você calcula.
A fórmula da regra da constante
Para qualquer constante c:
"Constante" significa qualquer coisa que não dependa da variável em relação à qual você está derivando. Isso inclui números comuns, mas também expressões como \pi^2, e^3, \sqrt{7}, \sin 1 e \ln 5.
Exemplos
| Função | Por que é constante | Derivada |
|---|---|---|
| 7 | Um número | 0 |
| -12.5 | Um número | 0 |
| \pi | Um número, aproximadamente 3.14 | 0 |
| e^3 | Não há x em lugar nenhum | 0 |
| \ln 5 | Não há x em lugar nenhum | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | É igual a \frac{1}{2} | 0 |
Exemplo: termo constante de um polinômio. Com a regra da soma, cada termo é derivado separadamente e o termo constante some:
Exemplo: um parâmetro. Se a e b são constantes, então
O a^2 parece uma potência, mas não depende de x, então é uma constante.
Por que a regra da constante funciona
Use a definição de derivada por limite com f(x) = c:
Também dá para vê-la como um caso particular da regra da potência: c = c\,x^0, e \frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0 (para x \ne 0).
Constantes somadas vs constantes multiplicadas
É aqui que a regra da constante encontra a regra da constante multiplicativa:
| Expressão | Derivada | Motivo |
|---|---|---|
| x^3 + 5 | 3x^2 | Uma constante somada desaparece |
| 5x^3 | 15x^2 | Uma constante multiplicada permanece |
| 5 | 0 | Regra da constante |
| 5x | 5 | Constante vezes x |
Deslocar um gráfico para cima ou para baixo somando uma constante não muda sua inclinação em nenhum ponto, e é exatamente por isso que constantes somadas desaparecem. Esticar um gráfico por um fator multiplica toda inclinação por esse fator, e é por isso que constantes multiplicadas permanecem.
A regra da constante ao contrário
Como toda constante tem derivada 0, muitas funções têm a mesma derivada: x^2, x^2 + 1 e x^2 - 8 têm todas derivada 2x. Por isso, ao integrar, você precisa somar uma constante arbitrária:
Veja antiderivadas para entender melhor por que o +\,C é obrigatório.
Erros comuns
- Tratar expressões constantes como variáveis. \frac{d}{dx}\,e^2 = 0, e não 2e nem e^2. O expoente é um número, não x.
- Zerar uma constante multiplicativa. \frac{d}{dx}\,4x = 4, e não 0. Só uma constante sozinha, ou somada, vira 0.
- Confundir qual variável está mudando. \frac{d}{dx}\,t^2 = 0 quando t é uma constante, mas \frac{d}{dt}\,t^2 = 2t. Sempre confira a variável no denominador de \frac{d}{d\square}.
A regra da constante costuma ser combinada com a regra da potência e a regra da soma. Veja o guia completo da regra da potência para praticar as três juntas.
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