Teorema del Valor Medio (TVM): enunciado, gráfica y ejemplos

El teorema del valor medio (TVM), también llamado teorema de Lagrange, dice que para una función suave la tasa de cambio media en un intervalo se alcanza como tasa de cambio instantánea en algún punto interior. Geométricamente, alguna recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos.

Enunciado del teorema del valor medio

Sea f una función que cumple las dos hipótesis:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b];
2. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

De forma equivalente, f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Esta segunda forma es la que se usa en las demostraciones: convierte información sobre la derivada en información sobre la función.

Qué significa el TVM

La fracción \frac{f(b) - f(a)}{b - a} es la pendiente de la recta secante, la tasa de cambio media. f'(c) es la pendiente de la tangente, una tasa de cambio instantánea. El TVM dice que ambas coinciden en algún punto. Si tu velocidad media en un viaje fue de 60 km/h, en algún instante ibas exactamente a 60 km/h.

Por qué importa cada hipótesis

Derivabilidad. Toma f(x) = |x| en [-1, 2]. Es continua, y la pendiente de la secante es \frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}. Pero f'(x) vale -1 para x < 0 y 1 para x > 0, nunca \frac{1}{3}. El culpable es el pico en 0.

Continuidad. Toma f(x) = \frac{1}{x} en [-1, 1]. La pendiente de la secante es \frac{1 - (-1)}{2} = 1, y sin embargo f'(x) = -\frac{1}{x^2} es siempre negativa. La función no es continua en 0, así que el TVM no se aplica.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: halla c para f(x) = x^3 en [0, 2].

Paso 1. f es un polinomio, así que se cumplen ambas hipótesis.

Paso 2. Pendiente media: \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4.

Paso 3. Resuelve f'(c) = 3c^2 = 4, lo que da c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}. Solo c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 está en (0, 2).

Ejemplo 2: halla c para f(x) = \sqrt{x} en [1, 4].

f es continua en [1, 4] y derivable en (1, 4). La pendiente media es \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}. Resuelve

y \frac{9}{4} = 2.25 está en (1, 4).

Ejemplo 3: acotar una función. Supón que f(0) = 1 y f'(x) \le 3 para todo x. ¿Qué tan grande puede ser f(2)?

Por el TVM en [0, 2], f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2 para algún c. Como f'(c) \le 3,

Obtienes información sobre f(2) sin conocer la función. Así es como se usa el TVM en demostraciones y en las estimaciones del error de la aproximación lineal.

Consecuencias clave

• Derivada cero implica función constante. Si f'(x) = 0 en un intervalo, entonces para dos puntos cualesquiera f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0, así que f es constante.
• Misma derivada implica que difieren en una constante. Si f' = g', entonces f - g es constante. Por eso toda antiderivada lleva un + C.
• El signo de f' da la monotonía. Si f' > 0 en un intervalo, f es creciente ahí, que es la base del criterio de la primera derivada.

Errores comunes

1. Responder con un c fuera de (a, b). Resuelve f'(c) = \text{slope} y descarta las raíces que no estén en el intervalo abierto.
2. Saltarse la comprobación de las hipótesis. Con funciones que tienen raíces, valores absolutos o fracciones, comprueba primero la continuidad y la derivabilidad.
3. Creer que el TVM localiza c. Solo garantiza que existe. En muchas aplicaciones, como en el Ejemplo 3, nunca llegas a hallar c.

Teoremas relacionados

El TVM se demuestra a partir del teorema de Rolle restando la recta secante a f. Su gemelo integral es el teorema del valor medio para integrales, y el teorema de Taylor es una versión de orden superior. Para más aplicaciones y práctica, lee la guía completa del teorema del valor medio.