AP Calculus Unidade 3: regra da cadeia e derivação implícita
Revisão da Unidade 3 de AP Calculus AB e BC: regra da cadeia, derivação implícita, derivadas de inversas e de trigonométricas inversas e derivadas segundas.
Unidades de AP Calculus Atualizado 4 min de leitura
Visão geral
- Peso na prova AB
- 5–10%
- Peso na prova BC
- 5–10%
- Ideias centrais
- Regra da cadeia, derivação implícita, funções inversas, derivadas segundas
- Só no BC
- Nada, AB e BC cobrem os mesmos tópicos da Unidade 3
- Vem antes de
- Unidade 4, derivadas em contexto, e Unidade 5, análise de funções
- Pratique aqui
- Cálculo 1: Regras de derivação
Nesta página
AP Calculus Unidade 3, Derivação de funções compostas, implícitas e inversas (Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions), completa o kit de regras de derivação. A regra da cadeia permite derivar uma função dentro de outra. A derivação implícita trata curvas que não estão escritas como y = f(x). As funções inversas ganham sua própria fórmula de derivada. É uma unidade curta, mas você vai usá-la todos os dias até o fim do curso.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso na prova | 5–10% | 5–10% |
| Tópicos extras | nenhum | nenhum |
O que a Unidade 3 cobre
O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.
| Tópico | O que você aprende | Prática |
|---|---|---|
| A regra da cadeia | Derivar f(g(x)) | Regra da cadeia: caso geral |
| Regra da cadeia com potências e trigonometria | (3x + 1)^5, \sin(x^2), \cos^3 x | Regra da cadeia: potências |
| Regra da cadeia com exponenciais | e^{x^2}, \ln(\sin x) | Regra da cadeia: exponenciais |
| Derivação implícita | Encontrar \frac{dy}{dx} para x^2 + y^2 = 25 | Derivação implícita |
| Derivada de funções inversas | g'(b) = \frac{1}{f'(a)} quando f(a) = b | Derivadas de funções inversas |
| Funções trigonométricas inversas | Derivadas de \arcsin x, \arctan x e das demais | Derivadas de trigonométricas inversas |
| Escolha do procedimento | Escolher a regra certa para uma expressão mista | Prática de regras de derivação |
| Derivadas de ordem superior | f''(x), incluindo derivadas segundas implícitas | Prática de regras de derivação |
As ideias principais
A regra da cadeia funciona de fora para dentro. Para y = f(g(x)):
Derive a função de fora sem mexer na de dentro e depois multiplique pela derivada da de dentro. Leia a página completa da regra da cadeia para ver uma demonstração e mais variações.
A derivação implícita encontra inclinações em curvas. Derive os dois lados em relação a x. Toda vez que derivar um termo em y, multiplique por \frac{dy}{dx}. Depois isole \frac{dy}{dx}.
Funções inversas invertem a inclinação. Se f e g são inversas, seus gráficos são simétricos em relação a y = x, então as inclinações em pontos correspondentes são inversas uma da outra. Veja a regra da função inversa.
Depois vêm as derivadas segundas. A derivada segunda f''(x) é a taxa de variação de f'(x). Na Unidade 4 ela vira aceleração e na Unidade 5 ela informa a concavidade.
Questões de exemplo
1. Regra da cadeia. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3).
2. Derivação implícita. Para x^2 + y^2 = 25, derive os dois lados:
Em (3, 4) a inclinação é -\frac{3}{4}.
3. Uma derivada segunda implícita. Derive \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} com a regra do quociente e substitua:
4. Função inversa a partir de uma tabela. Seja f(x) = x^3 + x e seja g sua inversa. Como f(1) = 2 e f'(x) = 3x^2 + 1:
5. Trigonométrica inversa com regra da cadeia. \frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}.
Como estudar a Unidade 3
- Diga em voz alta qual é a função de dentro. Antes de derivar, identifique a função interna. A maioria dos erros com a regra da cadeia vem de esquecer de multiplicar pela derivada dela.
- Simplifique derivadas segundas implícitas. Depois de derivar duas vezes, substitua \frac{dy}{dx} de volta e use a equação original para simplificar, como na questão de exemplo 3.
- Pratique inversas a partir de tabelas. Primeiro encontre a linha em que f(a) = b. É comum substituir b em f' por engano.
- Misture as regras. As questões reais da prova combinam a regra da cadeia com a do produto ou a do quociente. Faça listas mistas, não uma regra de cada vez.
- Resolva listas de exercícios. Tente os exercícios de regra da cadeia, os exercícios de derivação implícita e os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas, todos com resolução completa.
Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.
AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.
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Regra da cadeia: qualquer função
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