AP Calculus unidad 3: regla de la cadena e implícitas (AB y BC)
Repaso de la unidad 3 de AP Calculus AB y BC: regla de la cadena, derivación implícita, derivadas de inversas y trigonométricas inversas, y derivadas sucesivas.
Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 5–10%
- Peso en el examen BC
- 5–10%
- Ideas clave
- Regla de la cadena, derivación implícita, funciones inversas, segundas derivadas
- Solo BC
- Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 3
- Va antes de
- La unidad 4, derivadas en contexto, y la unidad 5, análisis de funciones
- Practica aquí
- Cálculo 1: reglas de derivación
La unidad 3 de AP Calculus, derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas (Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions), completa la caja de herramientas de las reglas de derivación. La regla de la cadena permite derivar una función dentro de otra. La derivación implícita se ocupa de curvas que no están escritas como y = f(x). Las funciones inversas tienen su propia fórmula de derivación. Es una unidad corta, pero la usarás a diario durante el resto del curso.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 5–10% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |
Qué cubre la unidad 3
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| La regla de la cadena | Derivar f(g(x)) | Regla de la cadena: caso general |
| Regla de la cadena con potencias y trigonométricas | (3x + 1)^5, \sin(x^2), \cos^3 x | Regla de la cadena: potencias |
| Regla de la cadena con exponenciales | e^{x^2}, \ln(\sin x) | Regla de la cadena: exponenciales |
| Derivación implícita | Hallar \frac{dy}{dx} en x^2 + y^2 = 25 | Derivación implícita |
| Derivar funciones inversas | g'(b) = \frac{1}{f'(a)} cuando f(a) = b | Derivadas de funciones inversas |
| Funciones trigonométricas inversas | Derivadas de \arcsin x, \arctan x y las demás | Derivadas trigonométricas inversas |
| Elegir el procedimiento | Escoger la regla adecuada en una expresión mixta | Práctica de reglas de derivación |
| Derivadas de orden superior | f''(x), incluidas las segundas derivadas implícitas | Práctica de reglas de derivación |
Las ideas clave
La regla de la cadena va de fuera hacia dentro. Para y = f(g(x)):
Deriva la función exterior dejando igual la interior, y luego multiplica por la derivada de la interior. Lee la página completa de la regla de la cadena para ver una demostración y más variantes.
La derivación implícita da pendientes en curvas. Deriva los dos lados respecto de x. Cada vez que derives un término con y, multiplica por \frac{dy}{dx}. Luego despeja \frac{dy}{dx}.
Las funciones inversas invierten la pendiente. Si f y g son inversas, sus gráficas son simétricas respecto de y = x, así que las pendientes en puntos correspondientes son recíprocas. Consulta la regla de la función inversa.
Después vienen las segundas derivadas. La segunda derivada f''(x) es la tasa de cambio de f'(x). En la unidad 4 se convierte en aceleración y en la unidad 5 informa sobre la concavidad.
Preguntas de ejemplo
1. Regla de la cadena. \frac{d}{dx}\sin(x^3) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3).
2. Derivación implícita. Para x^2 + y^2 = 25, deriva los dos lados:
En (3, 4) la pendiente es -\frac{3}{4}.
3. Una segunda derivada implícita. Deriva \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} con la regla del cociente y sustituye:
4. Función inversa a partir de una tabla. Sea f(x) = x^3 + x y sea g su inversa. Como f(1) = 2 y f'(x) = 3x^2 + 1:
5. Trigonométrica inversa con la regla de la cadena. \frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}.
Cómo estudiar la unidad 3
- Di en voz alta cuál es la función interior. Antes de derivar, nombra la función interior. La mayoría de los errores con la regla de la cadena vienen de olvidar multiplicar por su derivada.
- Simplifica las segundas derivadas implícitas. Después de derivar dos veces, sustituye \frac{dy}{dx} y usa la ecuación original para simplificar, como en la pregunta de ejemplo 3.
- Practica problemas de inversas con tablas. Busca primero la fila donde f(a) = b. Es habitual sustituir b en f' por error.
- Mezcla las reglas. Las preguntas reales del examen combinan la regla de la cadena con la del producto o la del cociente. Haz colecciones mixtas, no una regla cada vez.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de la regla de la cadena, los ejercicios de derivación implícita y los ejercicios de derivadas trigonométricas inversas, todos con soluciones completas.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
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