AP Calculus Unidade 6: revisão de integração e acumulação (AB e BC)
Revisão da Unidade 6 de AP Calculus AB e BC: somas de Riemann, Teorema Fundamental, funções acumulação, substituição e técnicas do BC, com prática.
Unidades de AP Calculus Atualizado 4 min de leitura
Visão geral
- Peso na prova AB
- 15–20%
- Peso na prova BC
- 15–20%
- Ideias centrais
- Somas de Riemann, integrais definidas, o Teorema Fundamental, antiderivadas
- Só no BC
- Integração por partes, frações parciais com fatores lineares, integrais impróprias
- Vem antes de
- Unidade 7, equações diferenciais, e Unidade 8, aplicações da integral
- Pratique aqui
- Cálculo 1: Integrais
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A Unidade 6 de AP Calculus, Integração e acumulação de variação (Integration and Accumulation of Change), é onde começa a segunda metade do cálculo. Ela transforma taxas em quantidades: se você sabe com que rapidez algo está variando, uma integral diz quanto variou no total. É uma das duas maiores unidades da prova e a que mais alimenta as questões dissertativas.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso na prova | 15–20% | 15–20% |
| Tópicos extras | nenhum | integração por partes, frações parciais, integrais impróprias |
O que a Unidade 6 cobre
O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.
| Tópico | O que você aprende | Prática |
|---|---|---|
| Acumulação de variação | A área sob o gráfico de uma taxa é a variação da quantidade | Área com sinal |
| Somas de Riemann | Somas pela esquerda, pela direita e pelo ponto médio, a partir de fórmulas e tabelas | Somas de Riemann |
| Somas dos trapézios | A média das somas pela esquerda e pela direita | Somas dos trapézios |
| Integrais definidas | O limite das somas de Riemann e as propriedades das integrais | Área com sinal |
| Teorema Fundamental, parte 1 | Derivadas de funções acumulação | Funções acumulação |
| Teorema Fundamental, parte 2 | Calcular \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) | O Teorema Fundamental |
| Antiderivadas | Regra da potência inversa, integrais trigonométricas e exponenciais | Regra da potência inversa |
| Substituição | Mudança de variável em integrais indefinidas e definidas | Substituição |
| Integração por partes (BC) | \int u\,dv = uv - \int v\,du | Integração por partes |
| Frações parciais (BC) | Decompor funções racionais com fatores lineares | Frações parciais |
| Integrais impróprias (BC) | Integrais até o infinito e sobre assíntotas verticais | Limites infinitos |
As ideias principais
Somas de Riemann estimam área. Divida [a, b] em partes, multiplique cada largura por uma altura e some. Para uma função crescente, a soma pela esquerda subestima e a soma pela direita superestima. A soma dos trapézios faz a média das duas.
A integral definida é a variação total. Se r(t) é uma taxa, então \int_a^b r(t)\,dt é a variação total de t = a até t = b. Essa ideia está por trás de toda questão dissertativa do tipo "taxa de entrada, taxa de saída".
O Teorema Fundamental liga tudo. A parte 1 diz que uma função acumulação é uma antiderivada:
A parte 2 diz que você pode calcular uma integral definida com qualquer antiderivada F:
Leia mais sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 e a parte 2.
Questões de exemplo
1. Uma tabela (sem calculadora). A taxa de vazão de água r(t), em litros por minuto, é medida em t = 0, 2, 5 com valores 4, 6, 9. Uma soma dos trapézios estima a vazão total:
Repare nos intervalos desiguais. As tabelas do AP costumam tê-los, então nunca suponha espaçamento igual.
2. Uma função acumulação. Se g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt, então pelo Teorema Fundamental g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3. Você nunca precisa encontrar a antiderivada.
3. Substituição. Calcule \int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx com u = x^2 + 1, então du = 2x\,dx e os limites de integração passam a ser 1 e 2:
4. BC: integração por partes. Com u = x e dv = \cos x\,dx:
Como estudar a Unidade 6
- Aprenda a ler a integral em palavras. "O número total de litros que entraram nos primeiros 5 minutos" é \int_0^5 r(t)\,dt. As questões dissertativas pedem que você explique o significado de uma integral no contexto, com unidades.
- Pratique tabelas com intervalos desiguais. Elas são o formato mais comum para somas de Riemann e dos trapézios na prova.
- Derive funções acumulação com rapidez. Questões sobre g(x) = \int_a^x f(t)\,dt voltam no estilo da Unidade 5: onde g cresce, tem extremos ou tem concavidade para cima.
- Treine as antiderivadas. Use a referência de integrais e o formulário de cálculo até que as básicas fiquem automáticas.
- Resolva listas de exercícios. Experimente os exercícios de somas de Riemann e os exercícios de integração por substituição, cada um com resolução completa.
Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.
AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.
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