Integração por substituição: como escolher u, com exemplos

Você sabe que \int \cos u\,du = \sin u + C. Mas e \int 2x\cos(x^2)\,dx? Nenhuma das regras básicas se aplica diretamente, e não existe regra do produto para integrais. A integração por substituição é a ferramenta que transforma integrais como essa de volta em integrais que você já conhece, e é a primeira técnica a tentar em quase qualquer integral.

O que é a integração por substituição?

A substituição (também chamada de mudança de variável ou substituição u) é a regra da cadeia ao contrário. A regra da cadeia diz que

Então qualquer integrando com a forma "uma função de g(x), vezes g'(x)" tem uma antiderivada fácil. Fazer u = g(x) deixa essa forma evidente:

Em palavras: renomeie a função de dentro como u, troque g'(x)\,dx por du, integre em u e depois coloque g(x) de volta.

O método da substituição em cinco passos

1. Escolha u. Pegue uma função de dentro g(x).
2. Encontre du. Derive: du = g'(x)\,dx.
3. Reescreva tudo em u. Troque g(x) por u e g'(x)\,dx por du. Não pode sobrar nenhum x.
4. Integre a nova integral, mais simples.
5. Desfaça a substituição com u = g(x) e some +C.

Como escolher u

Quase toda a habilidade na substituição está em escolher u. Pergunte: existe uma função dentro de outra cuja derivada também está no integrando? Se sim, essa função de dentro é o seu u.

Alguns padrões úteis:

• Algo entre parênteses elevado a uma potência: faça u igual ao que está entre parênteses.
• Uma fração cujo numerador é (quase) a derivada do denominador: faça u igual ao denominador. A resposta vai envolver \ln|u|.
• Uma exponencial ou função trigonométrica com argumento complicado: faça u igual ao argumento.

Dica: fatores constantes nunca importam. Se du = 2x\,dx, mas o integrando só tem x\,dx, escreva x\,dx = \tfrac12\,du e siga em frente.

Exemplo resolvido 1: o padrão básico

Calcule \int 2x\cos(x^2)\,dx.

Passo 1. Escolha u. A função de dentro é x^2, então faça u = x^2.

Passo 2. Encontre du. du = 2x\,dx.

Passo 3. Reescreva. O integrando é \cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du.

Passo 4. Integre. \int \cos u\,du = \sin u + C.

Passo 5. Desfaça a substituição.

Confira derivando: a regra da cadeia dá \cos(x^2)\cdot 2x. Bate.

Exemplo resolvido 2: ajustando uma constante

Calcule \int x(x^2+3)^4\,dx.

Passo 1. Faça u = x^2 + 3.

Passo 2. du = 2x\,dx, então x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3. Substitua:

Passo 4. \tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C.

Passo 5.

Expandir (x^2+3)^4 também funcionaria, mas levaria muito mais tempo e abriria espaço para erros de conta.

Exemplo resolvido 3: uma resposta com logaritmo

Calcule \int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.

Passo 1. Faça u = e^x + 1, o denominador.

Passo 2. du = e^x\,dx, que é exatamente o numerador vezes dx.

Passo 3. A integral vira \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4. \int \frac1u\,du = \ln|u| + C.

Passo 5. Como e^x + 1 > 0, o módulo pode sair:

Exemplo resolvido 4: quando sobra um x

Calcule \int x\sqrt{x+1}\,dx.

Faça u = x + 1, então du = dx. A raiz vira \sqrt u, mas ainda há um x na frente. O truque: isole x na substituição. Como u = x+1, temos x = u - 1.

Integre cada potência:

Esse movimento de "isolar x" salva muitas substituições em que u é linear.

Exemplo resolvido: um logaritmo no numerador

Calcule \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx.

Passo 1. Encontre o par. A função \ln x está ao quadrado, e sua derivada \frac1x aparece como fator. Então faça u = \ln x.

Passo 2. du = \frac1x\,dx.

Passo 3. Reescreva. \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du.

Passo 4. \int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C.

Passo 5.

Reconhecer \frac1x como a derivada de \ln x é uma habilidade que vale a pena treinar por si só. Ela aparece o tempo todo, muitas vezes disfarçada de divisão por x.

Sempre confira derivando

Toda resposta de uma substituição pode ser verificada em segundos, porque derivá-la é só aplicar a regra da cadeia. Pegue a resposta do exemplo 2, \frac{(x^2+3)^5}{10}. Sua derivada é

que é exatamente o integrando. Se a conferência produzir uma constante a mais ou a menos (digamos 2x(x^2+3)^4), você sabe na hora que um \tfrac12 se perdeu. Criar esse hábito pega quase todo erro de fator constante antes que ele custe pontos.

Substituição em integrais definidas: mudando os limites

Numa integral definida, os limites a e b são valores de x. Quando você passa para u, eles precisam virar valores de u:

Exemplo resolvido 5: mudando os limites

Calcule \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx.

Passo 1. Faça u = x^2 + 1, então du = 2x\,dx.

Passo 2. Converta os limites. Quando x = 0, u = 0^2 + 1 = 1. Quando x = 1, u = 1^2 + 1 = 2.

Passo 3. Reescreva e integre totalmente em u.

Não é preciso desfazer a substituição, porque os novos limites já pertencem a u.

Exemplo resolvido 6: uma integral definida trigonométrica

Calcule \int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx.

Faça u = \tan x, então du = \sec^2 x\,dx. Novos limites: \tan 0 = 0 e \tan\frac{\pi}{4} = 1.

Dica: se preferir, você pode achar a antiderivada \tfrac12\tan^2 x e depois substituir os limites originais em x. Você obtém o mesmo \tfrac12. Só nunca substitua limites em x numa expressão em u.

Quando a substituição falha

A substituição é poderosa, mas não universal. Fique atento a estes sinais de que ela não vai funcionar:

• A derivada de u não aparece. Em \int e^{x^2}\,dx, fazer u = x^2 exige 2x\,dx, mas não há x no integrando. Você não pode inventar um. (Essa integral nem tem antiderivada elementar.)
• Um produto de funções sem relação. \int x e^x\,dx e \int x\cos x\,dx não se simplificam com nenhuma substituição. Elas precisam de integração por partes.
• Uma função racional com denominador fatorado. \int \frac{1}{x^2-1}\,dx se resolve com frações parciais.
• A raiz quadrada de um quadrático sem a derivada correspondente. \int \sqrt{4 - x^2}\,dx pede substituição trigonométrica.

Um teste útil: depois de substituir, se sobrar um x que você não consegue reescrever usando u, sua escolha de u está errada ou o método não se aplica.

Erros comuns na substituição

1. Esquecer de trocar o dx. Escrever \int \cos u\,dx é misturar variáveis. O dx precisa virar du (com a constante que for necessária).
2. Ignorar um fator constante. No exemplo 2, perder o \tfrac12 dá \frac{(x^2+3)^5}{5}, que é o dobro do certo.
3. Usar os limites antigos. No exemplo 5, calcular \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 dá \tfrac14 em vez de \tfrac{15}{4}.
4. Não desfazer a substituição. Em integrais indefinidas, a resposta final precisa estar em x.
5. Esquecer o +C nas integrais indefinidas.
6. Tratar uma variável como constante. Você pode tirar um \tfrac12 da integral, mas nunca um x.

Resumo rápido

Crie o hábito com prática

Escolher u parece chute no começo, mas depois de umas duas dúzias de exercícios você vai ver a função de dentro e sua derivada quase na hora. Faça a lição interativa abaixo: cada exercício confere sua resposta imediatamente e mostra onde a substituição deu errado, para o padrão se fixar.