Substitutionsregel: So wählst du u, mit Rechenbeispielen

Du weißt, dass \int \cos u\,du = \sin u + C gilt. Aber was ist mit \int 2x\cos(x^2)\,dx? Keine der Grundregeln greift direkt, und für Integrale gibt es keine Produktregel. Die Substitutionsregel ist das Werkzeug, das solche Integrale in welche zurückverwandelt, die du schon kennst, und sie ist bei fast jedem Integral die erste Technik, zu der du greifen solltest.

Was ist die Substitutionsregel?

Die Substitutionsregel (auch Integration durch Substitution oder Variablenwechsel) ist die Kettenregel rückwärts. Die Kettenregel besagt

Jeder Integrand der Form "eine Funktion von g(x), mal g'(x)" hat also eine einfache Stammfunktion. Mit u = g(x) wird diese Form offensichtlich:

In Worten: Benenne die innere Funktion in u um, ersetze g'(x)\,dx durch du, integriere nach u und setze dann wieder g(x) ein.

Die Substitutionsregel in fünf Schritten

1. Wähle u. Nimm eine innere Funktion g(x).
2. Bestimme du. Ableiten: du = g'(x)\,dx.
3. Schreibe alles in u um. Ersetze g(x) durch u und g'(x)\,dx durch du. Es darf kein x übrig bleiben.
4. Integriere das neue, einfachere Integral.
5. Setze zurück u = g(x) ein und ergänze +C.

So wählst du u

Die meiste Kunst bei der Substitution liegt in der Wahl von u. Frag dich: Steckt eine Funktion in einer anderen Funktion, deren Ableitung ebenfalls im Integranden steht? Wenn ja, ist diese innere Funktion dein u.

Einige nützliche Muster:

• Eine Klammer hoch einer Potenz: Setze u gleich dem Inhalt der Klammer.
• Ein Bruch, dessen Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist: Setze u gleich dem Nenner. Im Ergebnis taucht \ln|u| auf.
• Eine Exponential- oder trigonometrische Funktion mit kompliziertem Argument: Setze u gleich dem Argument.

Tipp: Konstante Faktoren spielen nie eine Rolle. Ist du = 2x\,dx, aber dein Integrand enthält nur x\,dx, schreibst du x\,dx = \tfrac12\,du und machst weiter.

Rechenbeispiel 1: das Grundmuster

Berechne \int 2x\cos(x^2)\,dx.

Schritt 1. u wählen. Die innere Funktion ist x^2, also setze u = x^2.

Schritt 2. du bestimmen. du = 2x\,dx.

Schritt 3. Umschreiben. Der Integrand ist \cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du.

Schritt 4. Integrieren. \int \cos u\,du = \sin u + C.

Schritt 5. Zurück einsetzen.

Kontrolle durch Ableiten: Die Kettenregel liefert \cos(x^2)\cdot 2x. Es passt.

Rechenbeispiel 2: einen konstanten Faktor anpassen

Berechne \int x(x^2+3)^4\,dx.

Schritt 1. Setze u = x^2 + 3.

Schritt 2. du = 2x\,dx, also x\,dx = \tfrac12\,du.

Schritt 3. Substituieren:

Schritt 4. \tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C.

Schritt 5.

(x^2+3)^4 auszumultiplizieren hätte auch funktioniert, aber viel länger gedauert und zu Rechenfehlern eingeladen.

Rechenbeispiel 3: ein Ergebnis mit Logarithmus

Berechne \int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.

Schritt 1. Setze u = e^x + 1, den Nenner.

Schritt 2. du = e^x\,dx, und das ist genau der Zähler mal dx.

Schritt 3. Das Integral wird zu \int \frac{1}{u}\,du.

Schritt 4. \int \frac1u\,du = \ln|u| + C.

Schritt 5. Da e^x + 1 > 0 gilt, kann der Betrag weg:

Rechenbeispiel 4: wenn ein x übrig bleibt

Berechne \int x\sqrt{x+1}\,dx.

Setze u = x + 1, also du = dx. Die Wurzel wird zu \sqrt u, aber vorne steht noch ein x. Der Trick: Löse die Substitution nach x auf. Aus u = x+1 folgt x = u - 1.

Integriere jede Potenz:

Dieses "nach x auflösen" rettet viele Substitutionen, bei denen u linear ist.

Rechenbeispiel: ein Logarithmus im Zähler

Berechne \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx.

Schritt 1. Das Paar erkennen. Die Funktion \ln x ist quadriert, und ihre Ableitung \frac1x steht als Faktor da. Also setze u = \ln x.

Schritt 2. du = \frac1x\,dx.

Schritt 3. Umschreiben. \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du.

Schritt 4. \int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C.

Schritt 5.

\frac1x als Ableitung von \ln x zu erkennen ist eine Fähigkeit, die es wert ist, eigens geübt zu werden. Sie taucht ständig auf, oft getarnt als Division durch x.

Immer durch Ableiten kontrollieren

Jedes Ergebnis einer Substitution lässt sich in Sekunden überprüfen, denn das Ableiten ist einfach die Kettenregel. Nimm das Ergebnis aus Beispiel 2, \frac{(x^2+3)^5}{10}. Seine Ableitung ist

und das ist genau der Integrand. Liefert die Kontrolle einen zusätzlichen oder fehlenden Faktor (etwa 2x(x^2+3)^4), weißt du sofort, dass ein \tfrac12 verloren gegangen ist. Diese Gewohnheit fängt fast jeden Fehler bei konstanten Faktoren ab, bevor er dich Punkte kostet.

Substitution bei bestimmten Integralen: die Grenzen umrechnen

Bei einem bestimmten Integral sind die Grenzen a und b Werte von x. Sobald du zu u wechselst, müssen sie zu u-Werten werden:

Rechenbeispiel 5: die Grenzen umrechnen

Berechne \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx.

Schritt 1. Setze u = x^2 + 1, also du = 2x\,dx.

Schritt 2. Grenzen umrechnen. Bei x = 0 ist u = 0^2 + 1 = 1. Bei x = 1 ist u = 1^2 + 1 = 2.

Schritt 3. Vollständig in u umschreiben und integrieren.

Ein Zurücksetzen ist nicht nötig, weil die neuen Grenzen schon zu u gehören.

Rechenbeispiel 6: ein trigonometrisches bestimmtes Integral

Berechne \int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx.

Setze u = \tan x, also du = \sec^2 x\,dx. Neue Grenzen: \tan 0 = 0 und \tan\frac{\pi}{4} = 1.

Tipp: Wenn du willst, kannst du auch die Stammfunktion \tfrac12\tan^2 x bestimmen und dann die ursprünglichen x-Grenzen einsetzen. Du erhältst dasselbe \tfrac12. Setze nur niemals x-Grenzen in einen Ausdruck in u ein.

Wann die Substitutionsregel scheitert

Die Substitution ist mächtig, aber nicht universell. Achte auf diese Anzeichen, dass sie nicht funktioniert:

• Die Ableitung von u fehlt. Bei \int e^{x^2}\,dx bräuchte u = x^2 den Faktor 2x\,dx, aber im Integranden steht kein x. Du kannst keines erfinden. (Dieses Integral hat überhaupt keine elementare Stammfunktion.)
• Ein Produkt nicht zusammenhängender Funktionen. \int x e^x\,dx und \int x\cos x\,dx vereinfachen sich unter keiner Substitution. Sie brauchen partielle Integration.
• Eine gebrochenrationale Funktion mit faktorisiertem Nenner. \int \frac{1}{x^2-1}\,dx erledigst du mit Partialbruchzerlegung.
• Die Wurzel eines quadratischen Terms ohne passende Ableitung. \int \sqrt{4 - x^2}\,dx verlangt nach trigonometrischer Substitution.

Ein nützlicher Test: Bleibt nach dem Substituieren ein x übrig, das du nicht mit u umschreiben kannst, ist deine Wahl von u falsch oder die Methode nicht anwendbar.

Typische Fehler bei der Substitutionsregel

1. Vergessen, dx zu ersetzen. \int \cos u\,dx vermischt Variablen. Das dx muss zu du werden (mit einem eventuell nötigen konstanten Faktor).
2. Einen konstanten Faktor ignorieren. Lässt du in Beispiel 2 das \tfrac12 weg, erhältst du \frac{(x^2+3)^5}{5}, und das ist doppelt so groß.
3. Die alten Grenzen verwenden. In Beispiel 5 liefert \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 den Wert \tfrac14 statt \tfrac{15}{4}.
4. Nicht zurück einsetzen. Bei unbestimmten Integralen muss das Endergebnis in x stehen.
5. +C weglassen bei unbestimmten Integralen.
6. Eine Variable wie eine Konstante behandeln. Ein \tfrac12 darfst du vor das Integral ziehen, ein x niemals.

Kurzübersicht

Mit Übung zur Gewohnheit

Die Wahl von u fühlt sich anfangs wie Raten an, aber nach ein paar Dutzend Aufgaben siehst du die innere Funktion und ihre Ableitung fast sofort. Arbeite die interaktive Lektion unten durch: Jede Aufgabe prüft deine Antwort sofort und zeigt dir, wo eine Substitution schiefgelaufen ist, damit das Muster hängen bleibt.