Integración por sustitución: cómo elegir u, con ejemplos resueltos

Sabes que \int \cos u\,du = \sin u + C. Pero ¿qué pasa con \int 2x\cos(x^2)\,dx? Ninguna de las reglas básicas se aplica directamente, y no existe una regla del producto para integrales. La sustitución (o cambio de variable) es la herramienta que convierte integrales como esta en otras que ya conoces, y es la primera técnica a la que conviene recurrir con casi cualquier integral.

¿Qué es la integración por sustitución?

La sustitución (también llamada integración por cambio de variable) es la regla de la cadena al revés. La regla de la cadena dice

Así que cualquier integrando con la forma "una función de g(x), por g'(x)" tiene una antiderivada fácil. Hacer u = g(x) deja esa forma a la vista:

En palabras: llama u a la función interna, reemplaza g'(x)\,dx por du, integra en u y vuelve a poner g(x).

El método de sustitución en cinco pasos

1. Elige u. Escoge una función interna g(x).
2. Halla du. Deriva: du = g'(x)\,dx.
3. Reescribe todo en u. Reemplaza g(x) por u y g'(x)\,dx por du. No puede quedar ninguna x.
4. Integra la nueva integral, más sencilla.
5. Deshaz el cambio u = g(x) y suma +C.

Cómo elegir u

Casi toda la habilidad de la sustitución está en elegir u. Pregúntate: ¿hay una función dentro de otra función cuya derivada también esté en el integrando? Si la hay, esa función interna es tu u.

Algunos patrones útiles:

• Algo entre paréntesis elevado a una potencia: haz que u sea lo que está entre paréntesis.
• Una fracción cuyo numerador es (casi) la derivada del denominador: haz que u sea el denominador. La respuesta tendrá \ln|u|.
• Una exponencial o una función trigonométrica con un argumento complicado: haz que u sea el argumento.

Consejo: los factores constantes nunca importan. Si du = 2x\,dx pero tu integrando solo tiene x\,dx, escribe x\,dx = \tfrac12\,du y sigue adelante.

Ejemplo resuelto 1: el patrón básico

Calcula \int 2x\cos(x^2)\,dx.

Paso 1. Elige u. La función interna es x^2, así que haz u = x^2.

Paso 2. Halla du. du = 2x\,dx.

Paso 3. Reescribe. El integrando es \cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du.

Paso 4. Integra. \int \cos u\,du = \sin u + C.

Paso 5. Deshaz el cambio.

Compruébalo derivando: la regla de la cadena da \cos(x^2)\cdot 2x. Coincide.

Ejemplo resuelto 2: ajustar una constante

Calcula \int x(x^2+3)^4\,dx.

Paso 1. Haz u = x^2 + 3.

Paso 2. du = 2x\,dx, así que x\,dx = \tfrac12\,du.

Paso 3. Sustituye:

Paso 4. \tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C.

Paso 5.

Desarrollar (x^2+3)^4 también habría funcionado, pero habría tomado mucho más tiempo y habría abierto la puerta a errores de cálculo.

Ejemplo resuelto 3: una respuesta con logaritmo

Calcula \int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.

Paso 1. Haz u = e^x + 1, el denominador.

Paso 2. du = e^x\,dx, que es exactamente el numerador por dx.

Paso 3. La integral se convierte en \int \frac{1}{u}\,du.

Paso 4. \int \frac1u\,du = \ln|u| + C.

Paso 5. Como e^x + 1 > 0, se puede quitar el valor absoluto:

Ejemplo resuelto 4: cuando sobra una x

Calcula \int x\sqrt{x+1}\,dx.

Haz u = x + 1, así que du = dx. La raíz se convierte en \sqrt u, pero todavía queda una x delante. El truco: despeja x de la sustitución. Como u = x+1, se tiene x = u - 1.

Integra cada potencia:

Este movimiento de "despejar x" rescata muchas sustituciones en las que u es lineal.

Ejemplo resuelto: un logaritmo en el numerador

Calcula \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx.

Paso 1. Detecta la pareja. La función \ln x está al cuadrado, y su derivada \frac1x aparece como factor. Así que haz u = \ln x.

Paso 2. du = \frac1x\,dx.

Paso 3. Reescribe. \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du.

Paso 4. \int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C.

Paso 5.

Reconocer \frac1x como la derivada de \ln x es una habilidad que vale la pena practicar por sí sola. Aparece constantemente, muchas veces disfrazada de una división entre x.

Comprueba siempre derivando

Cualquier respuesta obtenida por sustitución se puede verificar en segundos, porque derivarla es simplemente aplicar la regla de la cadena. Toma la respuesta del ejemplo 2, \frac{(x^2+3)^5}{10}. Su derivada es

que es exactamente el integrando. Si la comprobación produce una constante de más o de menos (por ejemplo 2x(x^2+3)^4), sabes de inmediato que se perdió un \tfrac12. Formar este hábito detecta casi todos los errores de factores constantes antes de que te cuesten puntos.

Sustitución en integrales definidas: cambiar los límites

En una integral definida, los límites a y b son valores de x. Al pasar a u, deben convertirse en valores de u:

Ejemplo resuelto 5: cambiar los límites

Calcula \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx.

Paso 1. Haz u = x^2 + 1, así que du = 2x\,dx.

Paso 2. Convierte los límites. Cuando x = 0, u = 0^2 + 1 = 1. Cuando x = 1, u = 1^2 + 1 = 2.

Paso 3. Reescribe e integra completamente en u.

No hace falta deshacer el cambio, porque los nuevos límites ya corresponden a u.

Ejemplo resuelto 6: una integral definida trigonométrica

Calcula \int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx.

Haz u = \tan x, así que du = \sec^2 x\,dx. Nuevos límites: \tan 0 = 0 y \tan\frac{\pi}{4} = 1.

Consejo: si lo prefieres, puedes hallar la antiderivada \tfrac12\tan^2 x y luego sustituir los límites originales en x. Obtienes el mismo \tfrac12. Lo que nunca debes hacer es sustituir límites en x en una expresión en u.

Cuándo falla la sustitución

La sustitución es poderosa, pero no universal. Fíjate en estas señales de que no va a funcionar:

• Falta la derivada de u. En \int e^{x^2}\,dx, hacer u = x^2 necesita 2x\,dx, pero no hay ninguna x en el integrando. No puedes inventarla. (Esta integral ni siquiera tiene una antiderivada elemental.)
• Un producto de funciones sin relación. \int x e^x\,dx y \int x\cos x\,dx no se simplifican con ninguna sustitución. Necesitan integración por partes.
• Una función racional con el denominador factorizado. \int \frac{1}{x^2-1}\,dx se resuelve con fracciones parciales.
• La raíz cuadrada de un cuadrático sin la derivada correspondiente. \int \sqrt{4 - x^2}\,dx pide una sustitución trigonométrica.

Una prueba útil: si después de sustituir queda una x y no puedes reescribirla usando u, tu elección de u es incorrecta o el método no se aplica.

Errores comunes con la sustitución

1. Olvidar reemplazar dx. Escribir \int \cos u\,dx es mezclar variables. El dx debe convertirse en du (con la constante que haga falta).
2. Ignorar un factor constante. En el ejemplo 2, olvidar el \tfrac12 da \frac{(x^2+3)^5}{5}, que es el doble de lo correcto.
3. Usar los límites viejos. En el ejemplo 5, evaluar \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 da \tfrac14 en lugar de \tfrac{15}{4}.
4. No deshacer el cambio. En las integrales indefinidas, la respuesta final debe estar en x.
5. Olvidar el +C en las integrales indefinidas.
6. Tratar una variable como una constante. Puedes sacar un \tfrac12 de la integral, pero nunca una x.

Referencia rápida

Forma el hábito con práctica

Al principio elegir u parece adivinar, pero después de un par de docenas de ejercicios verás la función interna y su derivada casi al instante. Resuelve la lección interactiva de abajo: cada ejercicio revisa tu respuesta de inmediato y te muestra dónde falló una sustitución, para que el patrón se te quede.