Changement de variable : comment choisir u, exemples corrigés

Vous savez que \int \cos u\,du = \sin u + C. Mais qu'en est-il de \int 2x\cos(x^2)\,dx ? Aucune règle de base ne s'applique directement, et il n'existe pas de règle du produit pour les intégrales. Le changement de variable est l'outil qui ramène ce genre d'intégrales à des intégrales que vous connaissez déjà, et c'est la première technique à essayer sur presque toutes les intégrales.

Qu'est-ce que le changement de variable ?

Le changement de variable (aussi appelé intégration par substitution) est la règle de dérivation en chaîne à l'envers. La règle de dérivation en chaîne dit que

Donc tout intégrande de la forme « une fonction de g(x), fois g'(x) » a une primitive facile. Poser u = g(x) rend cette forme évidente :

En mots : on renomme la fonction intérieure u, on remplace g'(x)\,dx par du, on intègre en u, puis on remet g(x).

La méthode du changement de variable en cinq étapes

1. Choisir u. Prenez une fonction intérieure g(x).
2. Trouver du. Dérivez : du = g'(x)\,dx.
3. Tout réécrire en u. Remplacez g(x) par u et g'(x)\,dx par du. Il ne doit rester aucun x.
4. Intégrer la nouvelle intégrale, plus simple.
5. Revenir à x en posant u = g(x), et ajouter +C.

Comment choisir u

L'essentiel du savoir-faire consiste à choisir u. Demandez-vous : y a-t-il une fonction à l'intérieur d'une autre dont la dérivée se trouve aussi dans l'intégrande ? Si oui, cette fonction intérieure est votre u.

Quelques schémas utiles :

• Une parenthèse élevée à une puissance : prenez pour u le contenu de la parenthèse.
• Une fraction dont le numérateur est (presque) la dérivée du dénominateur : prenez pour u le dénominateur. La réponse fera intervenir \ln|u|.
• Une exponentielle ou une fonction trigonométrique avec un argument compliqué : prenez pour u l'argument.

Astuce : les facteurs constants ne comptent jamais. Si du = 2x\,dx mais que votre intégrande ne contient que x\,dx, écrivez x\,dx = \tfrac12\,du et continuez.

Exemple corrigé 1 : le schéma de base

Calculez \int 2x\cos(x^2)\,dx.

Étape 1. Choisir u. La fonction intérieure est x^2, donc on pose u = x^2.

Étape 2. Trouver du. du = 2x\,dx.

Étape 3. Réécrire. L'intégrande est \cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du.

Étape 4. Intégrer. \int \cos u\,du = \sin u + C.

Étape 5. Revenir à x.

Vérification en dérivant : la règle de dérivation en chaîne donne \cos(x^2)\cdot 2x. Ça correspond.

Exemple corrigé 2 : ajuster une constante

Calculez \int x(x^2+3)^4\,dx.

Étape 1. On pose u = x^2 + 3.

Étape 2. du = 2x\,dx, donc x\,dx = \tfrac12\,du.

Étape 3. On substitue :

Étape 4. \tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C.

Étape 5.

Développer (x^2+3)^4 aurait aussi marché, mais cela aurait pris bien plus de temps et ouvert la porte aux erreurs de calcul.

Exemple corrigé 3 : une réponse en logarithme

Calculez \int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.

Étape 1. On pose u = e^x + 1, le dénominateur.

Étape 2. du = e^x\,dx, c'est-à-dire exactement le numérateur fois dx.

Étape 3. L'intégrale devient \int \frac{1}{u}\,du.

Étape 4. \int \frac1u\,du = \ln|u| + C.

Étape 5. Comme e^x + 1 > 0, on peut enlever la valeur absolue :

Exemple corrigé 4 : quand il reste un x

Calculez \int x\sqrt{x+1}\,dx.

On pose u = x + 1, donc du = dx. La racine devient \sqrt u, mais il reste un x devant. Voici l'astuce : exprimez x à partir de la substitution. Comme u = x+1, on a x = u - 1.

On intègre chaque puissance :

Ce geste « exprimer x » sauve de nombreux changements de variable où u est affine.

Exemple corrigé : un logarithme au numérateur

Calculez \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx.

Étape 1. Repérer la paire. La fonction \ln x est au carré, et sa dérivée \frac1x apparaît comme facteur. On pose donc u = \ln x.

Étape 2. du = \frac1x\,dx.

Étape 3. Réécrire. \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du.

Étape 4. \int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C.

Étape 5.

Reconnaître \frac1x comme la dérivée de \ln x est un savoir-faire qui mérite d'être travaillé à part. Il revient sans cesse, souvent déguisé en division par x.

Vérifiez toujours en dérivant

Toute réponse obtenue par changement de variable se vérifie en quelques secondes, car la dériver n'est qu'une application de la règle de dérivation en chaîne. Prenons la réponse de l'exemple 2, \frac{(x^2+3)^5}{10}. Sa dérivée est

ce qui est exactement l'intégrande. Si la vérification fait apparaître une constante en trop ou en moins (par exemple 2x(x^2+3)^4), vous savez tout de suite qu'un \tfrac12 s'est égaré. Prendre cette habitude permet d'attraper presque toutes les erreurs de facteur constant avant qu'elles ne vous coûtent des points.

Changement de variable dans une intégrale définie : changer les bornes

Pour une intégrale définie, les bornes a et b sont des valeurs de x. Une fois passé en u, elles doivent devenir des valeurs de u :

Exemple corrigé 5 : changer les bornes

Calculez \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx.

Étape 1. On pose u = x^2 + 1, donc du = 2x\,dx.

Étape 2. Convertir les bornes. Quand x = 0, u = 0^2 + 1 = 1. Quand x = 1, u = 1^2 + 1 = 2.

Étape 3. Tout réécrire et intégrer en u.

Inutile de revenir en arrière, car les nouvelles bornes appartiennent déjà à u.

Exemple corrigé 6 : une intégrale définie trigonométrique

Calculez \int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx.

On pose u = \tan x, donc du = \sec^2 x\,dx. Nouvelles bornes : \tan 0 = 0 et \tan\frac{\pi}{4} = 1.

Astuce : si vous préférez, trouvez la primitive \tfrac12\tan^2 x, puis utilisez les bornes de départ en x. Vous obtenez le même \tfrac12. Ne remplacez simplement jamais des bornes en x dans une expression en u.

Quand le changement de variable échoue

Le changement de variable est puissant mais pas universel. Voici les signes qu'il ne marchera pas :

• La dérivée de u est absente. Dans \int e^{x^2}\,dx, poser u = x^2 demande 2x\,dx, mais il n'y a pas de x dans l'intégrande. On ne peut pas en inventer un. (Cette intégrale n'a d'ailleurs aucune primitive élémentaire.)
• Un produit de fonctions sans lien. \int x e^x\,dx et \int x\cos x\,dx ne se simplifient par aucune substitution. Il faut une intégration par parties.
• Une fonction rationnelle dont le dénominateur se factorise. \int \frac{1}{x^2-1}\,dx se traite par décomposition en éléments simples.
• La racine carrée d'un trinôme sans dérivée correspondante. \int \sqrt{4 - x^2}\,dx demande un changement de variable trigonométrique.

Un test utile : après la substitution, s'il reste un x que vous ne pouvez pas réécrire à l'aide de u, votre choix de u est mauvais ou la méthode ne s'applique pas.

Erreurs fréquentes avec le changement de variable

1. Oublier de remplacer dx. Écrire \int \cos u\,dx mélange les variables. Le dx doit devenir du (avec la constante nécessaire).
2. Ignorer un facteur constant. Dans l'exemple 2, oublier le \tfrac12 donne \frac{(x^2+3)^5}{5}, deux fois trop grand.
3. Garder les anciennes bornes. Dans l'exemple 5, évaluer \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 donne \tfrac14 au lieu de \tfrac{15}{4}.
4. Ne pas revenir à x. Pour les intégrales indéfinies, la réponse finale doit être en x.
5. Oublier le +C dans les intégrales indéfinies.
6. Traiter une variable comme une constante. On peut sortir un \tfrac12 de l'intégrale, mais jamais un x.

Mémo

Prenez l'habitude par l'entraînement

Choisir u ressemble d'abord à de la devinette, mais après une vingtaine d'exercices, vous verrez presque instantanément la fonction intérieure et sa dérivée. Faites la leçon interactive ci-dessous : chaque exercice vérifie votre réponse immédiatement et montre où une substitution s'est trompée, pour que le schéma s'ancre.