Integrais duplas: integrais iteradas, regiões e coordenadas polares

Uma integral simples soma uma função ao longo de um intervalo. Uma integral dupla a soma sobre uma região inteira do plano, o que permite encontrar volumes, massas e médias sobre figuras 2D. A surpresa é que você nunca precisa de uma técnica nova para calculá-la: basta fazer duas integrais comuns em sequência. A parte difícil é acertar os limites.

Este guia percorre as integrais iteradas e o teorema de Fubini, integrais sobre regiões curvas, a troca da ordem de integração e as coordenadas polares, com todos os passos mostrados.

O que é uma integral dupla?

Divida uma região R do plano xy em retângulos minúsculos de área \Delta A. Sobre cada um, construa uma coluna fina de altura f(x, y). A integral dupla é o limite do volume total dessas colunas quando os retângulos encolhem:

É a versão 2D de uma soma de Riemann. Quando f \ge 0, ela é o volume sob z = f(x, y) e acima de R. Quando f = 1, ela é simplesmente a área de R.

Integrais iteradas e o teorema de Fubini

Você quase nunca usa a definição por limite. Em vez disso, calcula uma integral iterada, uma variável de cada vez. O teorema de Fubini diz que, para f contínua no retângulo R = [a, b] \times [c, d],

Leia a integral iterada de dentro para fora. Em \int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx, integre primeiro em relação a y, tratando x como constante (como uma derivada parcial ao contrário). O resultado é uma função só de x. Depois integre isso de a até b.

Exemplo resolvido 1: um retângulo, nas duas ordens

Calcule \iint_R (x + 2y)\,dA em que R = [0, 2] \times [0, 3], ou seja, 0 \le x \le 2 e 0 \le y \le 3.

Passo 1. Integral de dentro em y, mantendo x constante.

Passo 2. Integral de fora em x.

Passo 3. Confira com a outra ordem. De dentro em x: \int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y. De fora em y: \int_0^3 (2 + 4y)\,dy = 6 + 18 = 24. Mesma resposta, como Fubini garante.

Dica: se o integrando se fatora como g(x)\,h(y) e a região é um retângulo, a integral dupla se separa num produto: \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right).

Integrais duplas sobre regiões não retangulares

A maioria das regiões é limitada por curvas. Há duas formas padrão de descrevê-las.

Tipo I (faixas verticais): a \le x \le b e g_1(x) \le y \le g_2(x). Integre y primeiro:

Tipo II (faixas horizontais): c \le y \le d e h_1(y) \le x \le h_2(y). Integre x primeiro:

A regra de ouro: os limites de fora são constantes, e os limites de dentro só podem depender da variável de fora.

Como montar os limites:

1. Esboce a região e identifique cada curva da fronteira.
2. Escolha a ordem. Para dy\,dx, trace uma reta vertical pela região: ela entra pela curva de baixo g_1(x) e sai pela curva de cima g_2(x).
3. Os limites de fora são o menor e o maior x de toda a região.

Exemplo resolvido 2: uma região sob uma curva

Calcule \iint_R xy\,dA, em que R é limitada por y = \sqrt{x}, y = 0 e x = 4.

Passo 1. Descreva a região. Uma reta vertical em x entra em y = 0 e sai em y = \sqrt{x}, para x de 0 a 4.

Passo 2. Integral de dentro em y.

Passo 3. Integral de fora em x.

Como inverter a ordem de integração

Inverter a ordem significa descrever a mesma região com faixas horizontais em vez de verticais (ou o contrário). Você não pode simplesmente trocar os limites de lugar. Precisa redesenhar.

Passo 1. Recupere a região a partir dos limites atuais e esboce-a.

Passo 2. Encontre o intervalo constante da nova variável de fora.

Passo 3. Para um valor típico dela, descubra onde a nova variável de dentro entra e sai. Resolva cada curva da fronteira para a variável de dentro.

Refaça o exemplo 2 na ordem dx\,dy. A região vai de y = 0 até y = 2 (já que \sqrt{4} = 2). Uma reta horizontal na altura y entra pela curva, onde x = y^2, e sai em x = 4:

Mesma resposta, o que é uma ótima forma de conferir os limites.

Exemplo resolvido 3: inverter para tornar possível

Calcule \displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy.

A integral de dentro \int e^{x^2}\,dx não tem antiderivada elementar, então nesta ordem você fica travado. Inverta.

Passo 1. Leia a região. 0 \le y \le 1 e y \le x \le 1. Esse é o triângulo abaixo da reta y = x, acima de y = 0 e à esquerda de x = 1.

Passo 2. Descreva-a com faixas verticais. x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até a reta y = x.

Passo 3. Integre na nova ordem.

Passo 4. Termine com substituição (mudança de variável). Com u = x^2, du = 2x\,dx:

A integral de dentro em y produziu o fator x que fez a substituição funcionar. Esse é o motivo clássico para inverter a ordem.

Integrais duplas em coordenadas polares

Quando a região é um disco, um anel ou um setor, os limites retangulares ficam complicados. Passe para coordenadas polares:

O r extra aparece porque um pequeno pedaço em coordenadas polares tem largura dr e comprimento de arco r\,d\theta.

Exemplo resolvido 4: volume sob um paraboloide

Encontre o volume sob z = 4 - x^2 - y^2 e acima do plano xy.

Passo 1. Encontre a região. A superfície encontra z = 0 onde x^2 + y^2 = 4, um disco de raio 2. Em polares: 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 2. Converta o integrando. 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2.

Passo 3. Monte com dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4. Integral de dentro.

Passo 5. Integral de fora. \int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.

O volume é 8\pi. Em coordenadas retangulares, isso exigiria limites com \sqrt{4 - x^2} e uma integral muito mais difícil.

Erros comuns com integrais duplas

1. Esquecer o r em polares. Sem ele, o exemplo 4 dá \int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\,dr\,d\theta = \frac{32\pi}{3}, o que está errado.
2. Variáveis nos limites de fora. Se um limite de fora contém x ou y, a montagem está errada. Os limites de fora são sempre números.
3. Trocar os limites sem redesenhar. Mudar \int_0^1\int_y^1 \,dx\,dy para \int_0^1\int_x^1 \,dy\,dx descreve um triângulo diferente.
4. Ordem de dx\,dy incompatível. O diferencial de dentro precisa corresponder aos limites de dentro.
5. Curvas de cima e de baixo invertidas. Se g_1(x) está acima de g_2(x), você obtém uma área negativa. Confira com um esboço.

Referência rápida: montando integrais duplas

Pratique a montagem, não só a integração

A integração numa integral dupla costuma ser conteúdo de Cálculo 1 e 2. O que exige prática é ler uma região e escrever os limites certos na ordem certa. A lição interativa abaixo traz regiões e integrais para você montar, confere os seus limites antes de você integrar e mostra exatamente qual fronteira deu errado.