Integrales dobles: integrales iteradas, regiones y forma polar

Una integral simple suma una función a lo largo de un intervalo. Una integral doble la suma sobre toda una región del plano, lo que permite calcular volúmenes, masas y promedios sobre figuras en 2D. Lo sorprendente es que nunca necesitas una técnica nueva para calcularla: solo haces dos integrales ordinarias seguidas. Lo difícil es acertar con los límites.

Esta guía recorre las integrales iteradas y el teorema de Fubini, las integrales sobre regiones curvas, el cambio del orden de integración y las coordenadas polares, mostrando cada paso.

¿Qué es una integral doble?

Divide una región R del plano xy en rectángulos diminutos de área \Delta A. Sobre cada uno, construye una columna delgada de altura f(x, y). La integral doble es el límite del volumen total de esas columnas cuando los rectángulos se hacen cada vez más pequeños:

Es la versión en 2D de una suma de Riemann. Cuando f \ge 0 es el volumen bajo z = f(x, y) y sobre R. Cuando f = 1 es simplemente el área de R.

Integrales iteradas y el teorema de Fubini

Casi nunca se usa la definición por límite. En su lugar se calcula una integral iterada, una variable cada vez. El teorema de Fubini dice que, para una f continua en el rectángulo R = [a, b] \times [c, d],

Lee la integral iterada de dentro hacia fuera. En \int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx, integra primero con respecto a y, tratando x como constante (igual que una derivada parcial al revés). El resultado es una función solo de x. Luego integra eso de a a b.

Ejemplo resuelto 1: un rectángulo, en los dos órdenes

Calcula \iint_R (x + 2y)\,dA donde R = [0, 2] \times [0, 3], es decir, 0 \le x \le 2 y 0 \le y \le 3.

Paso 1. Integral interior en y, con x constante.

Paso 2. Integral exterior en x.

Paso 3. Comprueba con el otro orden. Interior en x: \int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y. Exterior en y: \int_0^3 (2 + 4y)\,dy = 6 + 18 = 24. La misma respuesta, tal como promete Fubini.

Consejo: si el integrando se factoriza como g(x)\,h(y) y la región es un rectángulo, la integral doble se separa en un producto: \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right).

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

La mayoría de las regiones están limitadas por curvas. Hay dos formas estándar de describirlas.

Tipo I (franjas verticales): a \le x \le b y g_1(x) \le y \le g_2(x). Integra primero y:

Tipo II (franjas horizontales): c \le y \le d y h_1(y) \le x \le h_2(y). Integra primero x:

La regla de oro: los límites exteriores son constantes, y los límites interiores solo pueden depender de la variable exterior.

Cómo plantear los límites:

1. Dibuja la región y etiqueta cada curva frontera.
2. Elige el orden. Para dy\,dx, traza una recta vertical que atraviese la región: entra por la curva inferior g_1(x) y sale por la curva superior g_2(x).
3. Los límites exteriores son el menor y el mayor valor de x de toda la región.

Ejemplo resuelto 2: una región bajo una curva

Calcula \iint_R xy\,dA, donde R está limitada por y = \sqrt{x}, y = 0 y x = 4.

Paso 1. Describe la región. Una recta vertical en x entra en y = 0 y sale en y = \sqrt{x}, para x de 0 a 4.

Paso 2. Integral interior en y.

Paso 3. Integral exterior en x.

Cómo cambiar el orden de integración

Cambiar el orden significa describir la misma región con franjas horizontales en lugar de verticales (o al revés). No basta con intercambiar los límites. Tienes que volver a dibujar.

Paso 1. Recupera la región a partir de los límites actuales y dibújala.

Paso 2. Halla el rango constante de la nueva variable exterior.

Paso 3. Para un valor típico de esa variable, halla dónde entra y dónde sale la nueva variable interior. Despeja la variable interior en cada curva frontera.

Rehaz el ejemplo 2 en el orden dx\,dy. La región va de y = 0 a y = 2 (ya que \sqrt{4} = 2). Una recta horizontal a la altura y entra por la curva, donde x = y^2, y sale en x = 4:

La misma respuesta, lo que es una excelente forma de comprobar tus límites.

Ejemplo resuelto 3: cambiar el orden para que sea posible

Calcula \displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy.

La integral interior \int e^{x^2}\,dx no tiene antiderivada elemental, así que en este orden estás atascado. Cambia el orden.

Paso 1. Lee la región. 0 \le y \le 1 y y \le x \le 1. Es el triángulo por debajo de la recta y = x, por encima de y = 0 y a la izquierda de x = 1.

Paso 2. Descríbela con franjas verticales. x va de 0 a 1, y para cada x, y va de 0 hasta la recta y = x.

Paso 3. Integra en el nuevo orden.

Paso 4. Termina con una sustitución (cambio de variable). Con u = x^2, du = 2x\,dx:

La integral interior en y produjo el factor x que hizo posible la sustitución. Ese es el motivo clásico para cambiar el orden.

Integrales dobles en coordenadas polares

Cuando la región es un disco, un anillo o una cuña, los límites rectangulares se complican. Pasa a coordenadas polares:

La r extra está ahí porque un pequeño trozo en polares tiene ancho dr y longitud de arco r\,d\theta.

Ejemplo resuelto 4: el volumen bajo un paraboloide

Halla el volumen bajo z = 4 - x^2 - y^2 y por encima del plano xy.

Paso 1. Halla la región. La superficie corta a z = 0 donde x^2 + y^2 = 4, un disco de radio 2. En polares: 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi.

Paso 2. Convierte el integrando. 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2.

Paso 3. Plantea con dA = r\,dr\,d\theta.

Paso 4. Integral interior.

Paso 5. Integral exterior. \int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.

El volumen es 8\pi. En coordenadas rectangulares harían falta límites con \sqrt{4 - x^2} y una integral mucho más difícil.

Errores comunes con las integrales dobles

1. Olvidar la r en polares. Sin ella, el ejemplo 4 da \int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\,dr\,d\theta = \frac{32\pi}{3}, que es incorrecto.
2. Variables en los límites exteriores. Si un límite exterior contiene x o y, el planteamiento está mal. Los límites exteriores siempre son números.
3. Intercambiar los límites sin volver a dibujar. Cambiar \int_0^1\int_y^1 \,dx\,dy por \int_0^1\int_x^1 \,dy\,dx describe otro triángulo.
4. Orden de dx\,dy que no coincide. La diferencial interior debe corresponder a los límites interiores.
5. Curvas superior e inferior invertidas. Si g_1(x) está por encima de g_2(x), obtienes un área negativa. Compruébalo con un dibujo.

Referencia rápida: cómo plantear integrales dobles

Practica el planteamiento, no solo la integración

La integración en una integral doble suele ser materia de Cálculo 1 y 2. Lo que requiere práctica es leer una región y escribir los límites correctos en el orden correcto. La lección interactiva de abajo te da regiones e integrales para plantear, comprueba tus límites antes de que integres y te muestra exactamente qué frontera falló.