Intégrales doubles : intégrales itérées, domaines et polaire

Une intégrale simple additionne une fonction le long d'un intervalle. Une intégrale double l'additionne sur tout un domaine du plan, ce qui permet de calculer des volumes, des masses et des moyennes sur des formes planes. La bonne surprise, c'est qu'il n'y a besoin d'aucune nouvelle technique pour la calculer : on fait simplement deux intégrales ordinaires à la suite. Le plus difficile est de poser les bonnes bornes.

Ce guide présente les intégrales itérées et le théorème de Fubini, les intégrales sur des domaines courbes, l'inversion de l'ordre d'intégration et les coordonnées polaires, avec chaque étape détaillée.

Qu'est-ce qu'une intégrale double ?

Découpez un domaine R du plan xy en minuscules rectangles d'aire \Delta A. Sur chacun d'eux, construisez une fine colonne de hauteur f(x, y). L'intégrale double est la limite du volume total de ces colonnes quand les rectangles rétrécissent :

C'est la version à deux dimensions d'une somme de Riemann. Quand f \ge 0, c'est le volume sous z = f(x, y) et au-dessus de R. Quand f = 1, c'est simplement l'aire de R.

Intégrales itérées et théorème de Fubini

On n'utilise presque jamais la définition par la limite. On calcule plutôt une intégrale itérée, une variable à la fois. Le théorème de Fubini dit que pour f continue sur le rectangle R = [a, b] \times [c, d],

Lisez l'intégrale itérée de l'intérieur vers l'extérieur. Dans \int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx, on intègre d'abord par rapport à y, en traitant x comme une constante (comme une dérivée partielle à l'envers). Le résultat est une fonction de x seul. On l'intègre ensuite de a à b.

Exemple corrigé 1 : un rectangle, dans les deux ordres

Calculez \iint_R (x + 2y)\,dA où R = [0, 2] \times [0, 3], c'est-à-dire 0 \le x \le 2 et 0 \le y \le 3.

Étape 1. Intégrale intérieure en y, avec x constant.

Étape 2. Intégrale extérieure en x.

Étape 3. Vérifier dans l'autre ordre. Intérieure en x : \int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y. Extérieure en y : \int_0^3 (2 + 4y)\,dy = 6 + 18 = 24. Même réponse, comme le promet Fubini.

Astuce : si l'intégrande se factorise en g(x)\,h(y) et que le domaine est un rectangle, l'intégrale double se sépare en un produit : \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right).

Intégrales doubles sur des domaines non rectangulaires

La plupart des domaines sont délimités par des courbes. Il y a deux façons classiques de les décrire.

Type I (bandes verticales) : a \le x \le b et g_1(x) \le y \le g_2(x). On intègre d'abord en y :

Type II (bandes horizontales) : c \le y \le d et h_1(y) \le x \le h_2(y). On intègre d'abord en x :

La règle d'or : les bornes extérieures sont des constantes, et les bornes intérieures ne peuvent dépendre que de la variable extérieure.

Comment poser les bornes :

1. Esquissez le domaine et nommez chaque courbe qui le délimite.
2. Choisissez l'ordre. Pour dy\,dx, tracez une droite verticale à travers le domaine : elle entre par la courbe du bas g_1(x) et sort par la courbe du haut g_2(x).
3. Les bornes extérieures sont la plus petite et la plus grande valeur de x sur tout le domaine.

Exemple corrigé 2 : un domaine sous une courbe

Calculez \iint_R xy\,dA, où R est délimité par y = \sqrt{x}, y = 0 et x = 4.

Étape 1. Décrire le domaine. Une droite verticale d'abscisse x entre en y = 0 et sort en y = \sqrt{x}, pour x de 0 à 4.

Étape 2. Intégrale intérieure en y.

Étape 3. Intégrale extérieure en x.

Comment inverser l'ordre d'intégration

Inverser l'ordre, c'est décrire le même domaine avec des bandes horizontales au lieu de verticales (ou l'inverse). On ne peut pas se contenter d'échanger les bornes. Il faut redessiner.

Étape 1. Retrouver le domaine à partir des bornes actuelles et l'esquisser.

Étape 2. Trouver l'intervalle constant de la nouvelle variable extérieure.

Étape 3. Pour une valeur typique de celle-ci, trouver où la nouvelle variable intérieure entre et sort. Résolvez chaque courbe frontière par rapport à la variable intérieure.

Reprenons l'exemple 2 dans l'ordre dx\,dy. Le domaine va de y = 0 à y = 2 (puisque \sqrt{4} = 2). Une droite horizontale à la hauteur y entre par la courbe, où x = y^2, et sort en x = 4 :

Même réponse, ce qui est un excellent moyen de vérifier vos bornes.

Exemple corrigé 3 : inverser pour rendre le calcul possible

Calculez \displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy.

L'intégrale intérieure \int e^{x^2}\,dx n'a pas de primitive élémentaire, donc dans cet ordre on est bloqué. Inversez.

Étape 1. Lire le domaine. 0 \le y \le 1 et y \le x \le 1. C'est le triangle situé sous la droite y = x, au-dessus de y = 0 et à gauche de x = 1.

Étape 2. Le décrire avec des bandes verticales. x va de 0 à 1, et pour chaque x, y va de 0 jusqu'à la droite y = x.

Étape 3. Intégrer dans le nouvel ordre.

Étape 4. Terminer par un changement de variable. Avec u = x^2, du = 2x\,dx :

L'intégrale intérieure en y a produit le facteur x qui a rendu le changement de variable possible. C'est la raison classique d'inverser l'ordre.

Intégrales doubles en coordonnées polaires

Quand le domaine est un disque, une couronne ou un secteur, les bornes en coordonnées cartésiennes deviennent compliquées. Passez en coordonnées polaires :

Le r supplémentaire est là parce qu'un petit élément de surface en polaire a une largeur dr et une longueur d'arc r\,d\theta.

Exemple corrigé 4 : le volume sous un paraboloïde

Trouvez le volume situé sous z = 4 - x^2 - y^2 et au-dessus du plan xy.

Étape 1. Trouver le domaine. La surface rencontre z = 0 là où x^2 + y^2 = 4, un disque de rayon 2. En polaire : 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi.

Étape 2. Convertir l'intégrande. 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2.

Étape 3. Poser avec dA = r\,dr\,d\theta.

Étape 4. Intégrale intérieure.

Étape 5. Intégrale extérieure. \int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.

Le volume vaut 8\pi. En coordonnées cartésiennes, il aurait fallu des bornes en \sqrt{4 - x^2} et une intégrale bien plus difficile.

Les erreurs fréquentes sur les intégrales doubles

1. Oublier le r en polaire. Sans lui, l'exemple 4 donne \int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\,dr\,d\theta = \frac{32\pi}{3}, ce qui est faux.
2. Des variables dans les bornes extérieures. Si une borne extérieure contient x ou y, la mise en place est fausse. Les bornes extérieures sont toujours des nombres.
3. Échanger les bornes sans redessiner. Transformer \int_0^1\int_y^1 \,dx\,dy en \int_0^1\int_x^1 \,dy\,dx décrit un autre triangle.
4. Un ordre dx\,dy incohérent. La différentielle intérieure doit correspondre aux bornes intérieures.
5. Courbes du haut et du bas inversées. Si g_1(x) est au-dessus de g_2(x), vous obtenez une aire négative. Vérifiez avec un croquis.

Aide-mémoire : poser une intégrale double

Entraînez-vous à poser, pas seulement à intégrer

Les calculs d'une intégrale double relèvent en général de Calculus 1 et 2. Ce qui demande de l'entraînement, c'est de lire un domaine et d'écrire les bonnes bornes dans le bon ordre. La leçon interactive ci-dessous vous propose des domaines et des intégrales à poser, vérifie vos bornes avant que vous intégriez et vous montre exactement quelle frontière est fausse.