Doppelintegrale: Iterierte Integrale, Bereiche und Polarkoordinaten

Ein einfaches Integral summiert eine Funktion entlang eines Intervalls auf. Ein Doppelintegral summiert sie über einen ganzen Bereich der Ebene auf, und damit kannst du Volumen, Massen und Mittelwerte über zweidimensionale Formen bestimmen. Das Überraschende: Du brauchst dafür nie eine neue Technik, du rechnest einfach zwei gewöhnliche Integrale hintereinander. Schwierig ist nur, die Grenzen richtig zu setzen.

Dieser Leitfaden behandelt iterierte Integrale und den Satz von Fubini, Integrale über krummlinig begrenzte Bereiche, das Vertauschen der Integrationsreihenfolge und Polarkoordinaten, mit jedem Schritt ausgeführt.

Was ist ein Doppelintegral?

Zerlege einen Bereich R in der xy-Ebene in winzige Rechtecke mit dem Flächeninhalt \Delta A. Errichte über jedem eine dünne Säule der Höhe f(x, y). Das Doppelintegral ist der Grenzwert des Gesamtvolumens dieser Säulen, wenn die Rechtecke immer kleiner werden:

Es ist die zweidimensionale Version einer Riemann-Summe. Für f \ge 0 ist es das Volumen unter z = f(x, y) und über R. Für f = 1 ist es einfach der Flächeninhalt von R.

Iterierte Integrale und der Satz von Fubini

Die Definition über den Grenzwert verwendest du fast nie. Stattdessen berechnest du ein iteriertes Integral, eine Variable nach der anderen. Der Satz von Fubini besagt, dass für ein stetiges f auf dem Rechteck R = [a, b] \times [c, d] gilt:

Lies das iterierte Integral von innen nach außen. Bei \int_a^b \int_c^d f\,dy\,dx integrierst du zuerst nach y und behandelst x als Konstante (wie eine partielle Ableitung, nur rückwärts). Das Ergebnis ist eine Funktion von x allein. Dann integrierst du diese von a bis b.

Rechenbeispiel 1: ein Rechteck, beide Reihenfolgen

Berechne \iint_R (x + 2y)\,dA mit R = [0, 2] \times [0, 3], also 0 \le x \le 2 und 0 \le y \le 3.

Schritt 1. Inneres Integral nach y, x bleibt konstant.

Schritt 2. Äußeres Integral nach x.

Schritt 3. Mit der anderen Reihenfolge prüfen. Innen nach x: \int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y. Außen nach y: \int_0^3 (2 + 4y)\,dy = 6 + 18 = 24. Dieselbe Antwort, wie Fubini es verspricht.

Tipp: Zerfällt der Integrand in g(x)\,h(y) und ist der Bereich ein Rechteck, zerfällt das Doppelintegral in ein Produkt: \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\left(\int_c^d h(y)\,dy\right).

Doppelintegrale über nicht rechteckige Bereiche

Die meisten Bereiche werden von Kurven begrenzt. Es gibt zwei übliche Arten, sie zu beschreiben (sogenannte Normalbereiche).

Typ I (senkrechte Streifen): a \le x \le b und g_1(x) \le y \le g_2(x). Integriere zuerst nach y:

Typ II (waagerechte Streifen): c \le y \le d und h_1(y) \le x \le h_2(y). Integriere zuerst nach x:

Die goldene Regel: Die äußeren Grenzen sind Konstanten, und die inneren Grenzen dürfen nur von der äußeren Variablen abhängen.

So stellst du die Grenzen auf:

1. Skizziere den Bereich und beschrifte jede Randkurve.
2. Wähle die Reihenfolge. Für dy\,dx zeichnest du eine senkrechte Linie durch den Bereich: Sie tritt an der unteren Kurve g_1(x) ein und an der oberen Kurve g_2(x) aus.
3. Die äußeren Grenzen sind das kleinste und das größte x im ganzen Bereich.

Rechenbeispiel 2: ein Bereich unter einer Kurve

Berechne \iint_R xy\,dA, wobei R von y = \sqrt{x}, y = 0 und x = 4 begrenzt wird.

Schritt 1. Den Bereich beschreiben. Eine senkrechte Linie bei x tritt bei y = 0 ein und bei y = \sqrt{x} aus, für x von 0 bis 4.

Schritt 2. Inneres Integral nach y.

Schritt 3. Äußeres Integral nach x.

So vertauschst du die Integrationsreihenfolge

Die Reihenfolge zu vertauschen bedeutet, denselben Bereich mit waagerechten statt senkrechten Streifen zu beschreiben (oder umgekehrt). Du kannst die Grenzen nicht einfach tauschen. Du musst neu zeichnen.

Schritt 1. Den Bereich aus den aktuellen Grenzen rekonstruieren und skizzieren.

Schritt 2. Den konstanten Bereich der neuen äußeren Variablen bestimmen.

Schritt 3. Für einen typischen Wert davon bestimmen, wo die neue innere Variable ein- und austritt. Löse jede Randkurve nach der inneren Variablen auf.

Rechne Beispiel 2 noch einmal in der Reihenfolge dx\,dy. Der Bereich reicht von y = 0 bis y = 2 (da \sqrt{4} = 2). Eine waagerechte Linie in der Höhe y tritt an der Kurve ein, wo x = y^2 ist, und bei x = 4 aus:

Dieselbe Antwort, und eine hervorragende Kontrolle deiner Grenzen.

Rechenbeispiel 3: Vertauschen, damit es überhaupt geht

Berechne \displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy.

Das innere Integral \int e^{x^2}\,dx hat keine elementare Stammfunktion, in dieser Reihenfolge kommst du also nicht weiter. Vertausche.

Schritt 1. Den Bereich ablesen. 0 \le y \le 1 und y \le x \le 1. Das ist das Dreieck unter der Geraden y = x, über y = 0 und links von x = 1.

Schritt 2. Mit senkrechten Streifen beschreiben. x läuft von 0 bis 1, und für jedes x läuft y von 0 bis zur Geraden y = x.

Schritt 3. In der neuen Reihenfolge integrieren.

Schritt 4. Mit der Substitutionsregel abschließen. Mit u = x^2, du = 2x\,dx:

Das innere Integral nach y hat den Faktor x erzeugt, der die Substitution möglich gemacht hat. Das ist der klassische Grund für das Vertauschen.

Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Ist der Bereich eine Kreisscheibe, ein Ring oder ein Sektor, werden kartesische Grenzen unübersichtlich. Wechsle zu Polarkoordinaten:

Das zusätzliche r steht da, weil ein kleines Flächenstück in Polarkoordinaten die Breite dr und die Bogenlänge r\,d\theta hat.

Rechenbeispiel 4: Volumen unter einem Paraboloid

Bestimme das Volumen unter z = 4 - x^2 - y^2 und über der xy-Ebene.

Schritt 1. Den Bereich bestimmen. Die Fläche trifft z = 0, wo x^2 + y^2 = 4 ist, also auf einer Kreisscheibe mit Radius 2. In Polarkoordinaten: 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi.

Schritt 2. Den Integranden umrechnen. 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2.

Schritt 3. Mit dA = r\,dr\,d\theta aufstellen.

Schritt 4. Inneres Integral.

Schritt 5. Äußeres Integral. \int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.

Das Volumen ist 8\pi. In kartesischen Koordinaten bräuchtest du Grenzen mit \sqrt{4 - x^2} und ein viel schwierigeres Integral.

Typische Fehler bei Doppelintegralen

1. Das r in Polarkoordinaten vergessen. Ohne es liefert Beispiel 4 \int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\,dr\,d\theta = \frac{32\pi}{3}, und das ist falsch.
2. Variablen in den äußeren Grenzen. Enthält eine äußere Grenze x oder y, ist der Ansatz kaputt. Äußere Grenzen sind immer Zahlen.
3. Grenzen tauschen, ohne neu zu zeichnen. Aus \int_0^1\int_y^1 \,dx\,dy einfach \int_0^1\int_x^1 \,dy\,dx zu machen, beschreibt ein anderes Dreieck.
4. Nicht passende Reihenfolge von dx\,dy. Das innere Differential muss zu den inneren Grenzen passen.
5. Obere und untere Kurve vertauscht. Liegt g_1(x) über g_2(x), erhältst du eine negative Fläche. Prüfe es mit einer Skizze.

Kurzübersicht: Doppelintegrale aufstellen

Übe den Ansatz, nicht nur das Integrieren

Das Integrieren in einem Doppelintegral ist meist Stoff aus Analysis 1 und 2. Übung braucht es, einen Bereich zu lesen und die richtigen Grenzen in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben. Die interaktive Lektion unten gibt dir Bereiche und Integrale zum Aufstellen, prüft deine Grenzen, bevor du integrierst, und zeigt genau, welcher Rand falsch war.