Derivada de cos²x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de cos²x é -2 sen x cos x, que é igual a -sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência por identidade e exemplos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -2\sin x\cos x
- Simplificada
- -\sin 2x
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'
- Não é o mesmo que
- \cos(x^2), cuja derivada é -2x\sin(x^2)
- Integral de cos²x
- \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
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A derivada de \cos^2 x é -2\sin x\cos x, que é o mesmo que -\sin 2x.
Gráfico de cos²x e de sua derivada
Demonstração pela regra da cadeia
\cos^2 x significa (\cos x)^2. A função de fora é o quadrado e a de dentro é \cos x. Com a regra da cadeia e a derivada de cos x:
Como 2\sin x\cos x = \sin 2x, isso é -\sin 2x.
Conferência com uma identidade de redução de potência
Use \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}:
Conferência com sen²x
Como \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, sua derivada tem de ser 0 - \sin 2x, a oposta da derivada de sen²x. Os dois gráficos são simétricos em relação à reta y = \frac{1}{2}, então suas inclinações são sempre opostas.
Variações com a regra da cadeia
| Função | Derivada | Simplificada |
|---|---|---|
| \cos^2(4x) | -8\cos 4x\sin 4x | -4\sin 8x |
| \cos^2(x^2) | -4x\cos(x^2)\sin(x^2) | -2x\sin(2x^2) |
| \cos^2(\pi x) | -2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x) | -\pi\sin(2\pi x) |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um valor. Em x = \frac{\pi}{6}, a inclinação é -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866.
Exemplo 2: uma potência maior. \frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x.
Exemplo 3: um produto. \frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x.
Exemplo 4: onde a curva é plana? -\sin 2x = 0 quando x = \frac{k\pi}{2}. Nos múltiplos pares de \frac{\pi}{2}, \cos^2 x = 1 (picos). Nos múltiplos ímpares, \cos^2 x = 0 (vales).
Onde você vai encontrá-la
A função \cos^2 x aparece na física e na engenharia sempre que algo é elevado ao quadrado depois de uma onda cosseno. A potência de uma corrente alternada é proporcional a \cos^2(\omega t), e a intensidade da luz polarizada que atravessa um filtro segue \cos^2\theta. Em cada caso a derivada diz com que rapidez essa grandeza varia. Como o resultado se simplifica para -\sin 2x, a taxa de variação é ela mesma uma onda simples, duas vezes mais rápida que o cosseno original. Escrever a resposta nessa forma curta também facilita encontrar onde a inclinação é zero, positiva ou negativa.
Erros comuns
- Perder o sinal de menos. É a derivada de dentro, -\sin x, que o traz.
- Responder 2\cos x ou -\sin^2 x. Nenhuma das duas aplica a regra da cadeia corretamente.
- Confundir \cos^2 x com \cos(x^2). \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
A integral de \cos^2 x usa a mesma identidade, veja a integral de cos²x.
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