Derivada de cos²x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de cos²x es -2 sen x cos x, que es igual a -sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con identidades y ejemplos como cos²(4x).
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -2\sin x\cos x
- Simplificada
- -\sin 2x
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'
- No es lo mismo que
- \cos(x^2), cuya derivada es -2x\sin(x^2)
- Integral de cos²x
- \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
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La derivada de \cos^2 x es -2\sin x\cos x, que es lo mismo que -\sin 2x.
Gráfica de cos²x y de su derivada
Demostración con la regla de la cadena
\cos^2 x significa (\cos x)^2. La función exterior es el cuadrado y la interior es \cos x. Con la regla de la cadena y la derivada de cos x:
Como 2\sin x\cos x = \sin 2x, esto es -\sin 2x.
Comprobación con una fórmula de reducción de potencias
Usa \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}:
Comprobación con sen²x
Como \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, su derivada tiene que ser 0 - \sin 2x, la opuesta de la derivada de sen²x. Las dos gráficas son simétricas respecto a y = \frac{1}{2}, así que sus pendientes siempre son opuestas.
Variantes con la regla de la cadena
| Función | Derivada | Simplificada |
|---|---|---|
| \cos^2(4x) | -8\cos 4x\sin 4x | -4\sin 8x |
| \cos^2(x^2) | -4x\cos(x^2)\sin(x^2) | -2x\sin(2x^2) |
| \cos^2(\pi x) | -2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x) | -\pi\sin(2\pi x) |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un valor. En x = \frac{\pi}{6}, la pendiente es -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866.
Ejemplo 2: una potencia mayor. \frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x.
Ejemplo 3: un producto. \frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x.
Ejemplo 4: ¿dónde es horizontal? -\sin 2x = 0 cuando x = \frac{k\pi}{2}. En los múltiplos pares de \frac{\pi}{2}, \cos^2 x = 1 (máximos). En los múltiplos impares, \cos^2 x = 0 (mínimos).
Dónde te la encontrarás
La función \cos^2 x aparece en física e ingeniería siempre que algo se eleva al cuadrado después de una onda coseno. La potencia de una corriente alterna es proporcional a \cos^2(\omega t), y la intensidad de la luz polarizada que atraviesa un filtro sigue \cos^2\theta. En cada caso, la derivada te dice con qué rapidez cambia esa magnitud. Como el resultado se simplifica a -\sin 2x, la tasa de cambio es a su vez una onda sencilla, el doble de rápida que el coseno original. Escribir el resultado en esa forma corta también facilita encontrar dónde la pendiente es cero, positiva o negativa.
Errores comunes
- Perder el signo menos. Lo aporta la derivada interior -\sin x.
- Responder 2\cos x o -\sin^2 x. Ninguna de las dos aplica bien la regla de la cadena.
- Confundir \cos^2 x con \cos(x^2). \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
La integral de \cos^2 x usa la misma identidad; consulta la integral de cos²x.
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