Exercícios de integral definida resolvidos, com respostas

Estes exercícios de integral definida começam com cálculo direto e avançam para simetria, módulo, geometria e as propriedades da integral. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas.

A ferramenta para quase todos os exercícios é o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2:

Exercícios

Cálculo direto

1. \displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx
2. \displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx
4. \displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx
5. \displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx
6. \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx

Atalhos e divisão do intervalo

7. \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx
8. \displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx
9. Sabendo que \int_0^5 f(x)\,dx = 8 e \int_0^2 f(x)\,dx = 3, encontre \int_2^5 f(x)\,dx, \int_5^2 2f(x)\,dx e \int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx.
10. \displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx (use geometria)

Significado

11. Encontre o valor médio de f(x) = x^2 em [0, 3].
12. Encontre \int_0^{2\pi}\sin x\,dx e a área total entre y = \sin x e o eixo x em [0, 2\pi].

Respostas

Resolução passo a passo

1. Uma antiderivada é \frac{x^3}{3} + x:

2. Escreva \sqrt{x} = x^{1/2}, cuja antiderivada é \frac{2}{3}x^{3/2}:

3. Uma antiderivada de \cos x é \sin x:

4. Uma antiderivada de \frac{1}{x} é \ln x para x > 0:

5. Uma antiderivada é x^3 - x^2. Mantenha os parênteses em volta do valor no limite inferior:

6. e^x é a sua própria antiderivada:

7. x^3 é uma função ímpar, e o intervalo [-2, 2] é simétrico em relação a 0. A área à esquerda cancela a área à direita, então a integral é 0. Verificação: \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0.

8. |x - 1| muda de fórmula em x = 1. Divida a integral nesse ponto:

As duas partes são triângulos: um com base 1 e altura 1, outro com base 2 e altura 2.

9. O intervalo [0, 5] se divide em [0, 2] e [2, 5], então \int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5. Inverter os limites troca o sinal, então \int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10. Para a última, \int_2^5 1\,dx = 3, então a resposta é 2(5) + 3 = 13. Veja as propriedades da integral definida.

10. y = \sqrt{9 - x^2} é a metade de cima de um círculo de raio 3. Metade de \pi r^2 é:

11. O valor médio é \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx:

12. A integral é [-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0. O arco acima do eixo cancela o arco abaixo dele. Para a área total, some os dois arcos como números positivos. Cada um tem área \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2, então a área total é 4.

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer os parênteses em F(a). No exercício 5, escrever 4 - 1 - 1 em vez de 4 - (-2) dá 2 em vez de 6.
• Confundir área com sinal e área total. O exercício 12 mostra que elas podem ser bem diferentes. Procure a palavra "área" no enunciado.
• Integrar |x - 1| de uma vez só. O módulo precisa ser dividido onde a expressão de dentro troca de sinal.
• Esquecer que inverter os limites troca o sinal. \int_5^2 é o oposto de \int_2^5.

Continue praticando

Para integrais definidas ilimitadas com correção imediata, experimente a lição de área com sinal e a lição do Teorema Fundamental, Parte 2. Depois passe para os exercícios do Teorema Fundamental e os exercícios de área entre curvas.