Ejercicios de integrales definidas resueltos con respuestas

Estos ejercicios de integrales definidas empiezan con el cálculo directo y pasan a la simetría, los valores absolutos, la geometría y las propiedades de la integral. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La herramienta para casi todos los ejercicios es el Teorema Fundamental del Cálculo, segunda parte:

Ejercicios

Cálculo directo

1. \displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx
2. \displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx
4. \displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx
5. \displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx
6. \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx

Atajos y división del intervalo

7. \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx
8. \displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx
9. Sabiendo que \int_0^5 f(x)\,dx = 8 y \int_0^2 f(x)\,dx = 3, halla \int_2^5 f(x)\,dx, \int_5^2 2f(x)\,dx y \int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx.
10. \displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx (usa la geometría)

Significado

11. Halla el valor medio de f(x) = x^2 en [0, 3].
12. Halla \int_0^{2\pi}\sin x\,dx y el área total entre y = \sin x y el eje x en [0, 2\pi].

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Una antiderivada es \frac{x^3}{3} + x:

2. Escribe \sqrt{x} = x^{1/2}, cuya antiderivada es \frac{2}{3}x^{3/2}:

3. Una antiderivada de \cos x es \sin x:

4. Una antiderivada de \frac{1}{x} es \ln x para x > 0:

5. Una antiderivada es x^3 - x^2. Mantén los paréntesis alrededor del valor en el límite inferior:

6. e^x es su propia antiderivada:

7. x^3 es una función impar y el intervalo [-2, 2] es simétrico respecto a 0. El área de la izquierda cancela el área de la derecha, así que la integral vale 0. Comprobación: \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0.

8. |x - 1| cambia de fórmula en x = 1. Divide ahí:

Los dos trozos son triángulos: uno de base 1 y altura 1, y otro de base 2 y altura 2.

9. El intervalo [0, 5] se divide en [0, 2] y [2, 5], así que \int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5. Intercambiar los límites cambia el signo, así que \int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10. Para la última, \int_2^5 1\,dx = 3, así que la respuesta es 2(5) + 3 = 13. Consulta las propiedades de la integral definida.

10. y = \sqrt{9 - x^2} es la mitad superior de una circunferencia de radio 3. La mitad de \pi r^2 es:

11. El valor medio es \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx:

12. La integral es [-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0. La joroba por encima del eje cancela la joroba por debajo. Para el área total, suma las dos jorobas como números positivos. Cada una tiene área \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2, así que el área total es 4.

Errores comunes en estos ejercicios

• Quitar los paréntesis de F(a). En el ejercicio 5, escribir 4 - 1 - 1 en lugar de 4 - (-2) da 2 en vez de 6.
• Confundir el área con signo con el área total. El ejercicio 12 muestra que pueden ser muy distintas. Busca la palabra "área" en el enunciado.
• Integrar |x - 1| de una sola vez. Los valores absolutos se dividen donde lo de dentro cambia de signo.
• Olvidar que intercambiar los límites cambia el signo. \int_5^2 es el opuesto de \int_2^5.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con integrales definidas y corrección al instante, prueba la lección de área con signo y la lección del Teorema Fundamental, segunda parte. Después pasa a los ejercicios del Teorema Fundamental y a los ejercicios de área entre curvas.