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Técnicas de integração

Exercícios de substituição trigonométrica, com respostas

12 exercícios de substituição trigonométrica com respostas e resolução completa para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) e completamento de quadrado.

Técnicas de integração Atualizado 4 min de leitura

Visão geral

\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
Exercícios
12, com respostas e resolução completa
Nível
Cálculo 2
Você precisa saber
Integrais trigonométricas e as identidades pitagóricas
Ideia principal
Escolha x de modo que a expressão dentro da raiz vire um quadrado perfeito de uma função trigonométrica
Pratique com novos números
Lição de substituição trigonométrica
Nesta página
  1. Exercícios
  2. Respostas
  3. Resolução passo a passo
  4. Erros comuns nestes exercícios
  5. Continue praticando

Estes exercícios de substituição trigonométrica cobrem as três formas padrão, alguns casos de aplicação direta de fórmula, integrais definidas e completamento de quadrado. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

Escolha a substituição pela forma dentro da raiz:

Expressão Substituição Identidade usada
\sqrt{a^2 - x^2} x = a\sin\theta 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta
\sqrt{a^2 + x^2} x = a\tan\theta 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
\sqrt{x^2 - a^2} x = a\sec\theta \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta

Exercícios

Aplicação direta de fórmula

  1. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx

Substituições completas

  1. \displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  4. \displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx
  5. \displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx para x > 1

Integrais definidas

  1. \displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx

Complete o quadrado primeiro

  1. \displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx

Respostas

Exercício Resposta
1 \arcsin\dfrac{x}{2} + C
2 \dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C
3 \ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C
4 \dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C
5 \dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C
6 -\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C
7 \dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C
8 \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C
9 \dfrac{\pi}{4}
10 \dfrac{\pi}{8}
11 \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C
12 \arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C

Resolução passo a passo

1. Seja x = 2\sin\theta, então dx = 2\cos\theta\,d\theta e \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta. A integral vira \int d\theta = \theta:

\arcsin\frac{x}{2} + C

2. Seja x = 3\tan\theta, então dx = 3\sec^2\theta\,d\theta e 9 + x^2 = 9\sec^2\theta:

\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C

3. Seja x = 3\tan\theta, então \sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta e a integral vira \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|. Pelo triângulo, \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} e \tan\theta = \frac{x}{3}. O \ln 3 que aparece se junta à constante:

\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C

4. Seja x = \sin\theta, então a integral é \int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}. Com \sin\theta = x e \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}, você chega à resposta da tabela. Veja a integral de √(1 − x²).

5. Seja x = 3\sin\theta. Então x^2 = 9\sin^2\theta, dx = 3\cos\theta\,d\theta e \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C

Como \sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}, isso dá \frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C.

6. Seja x = 2\sin\theta. Então x^2 = 4\sin^2\theta e \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta:

\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C

Pelo triângulo, \cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}.

7. Seja x = 2\tan\theta. Então (x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta e dx = 2\sec^2\theta\,d\theta:

\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C

Pelo triângulo, \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.

8. Seja x = \sec\theta, então dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta e \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C

Com \tan\theta = \sqrt{x^2 - 1} e \theta = \operatorname{arcsec} x, você chega à resposta.

9. Use o exercício 4: \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}. É um quarto do círculo unitário.

10. Use \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}:

\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}

11. Complete o quadrado: x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4. Com u = x + 1, fica \int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}.

12. Complete o quadrado: 3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2. Com u = x + 1, fica \int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}.

Erros comuns nestes exercícios

  • Escolher a substituição errada. \sqrt{9 + x^2} pede \tan, e não \sin. Compare o padrão de sinais com a tabela acima.
  • Esquecer de substituir o dx. Com x = 2\tan\theta, dx = 2\sec^2\theta\,d\theta. Deixar o dx como está estraga todos os passos seguintes.
  • Deixar a resposta em \theta. Uma integral indefinida em x precisa de uma resposta em x. Use o triângulo.
  • Usar substituição trigonométrica quando a substituição simples resolve. \int x\sqrt{4 - x^2}\,dx sai em uma linha com u = 4 - x^2.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a lição de substituição trigonométrica e a lição de escolha da estratégia. Para exemplos resolvidos, leia o guia de substituição trigonométrica. Para funções racionais sem raízes, siga para os exercícios de frações parciais.

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Substituição trigonométrica

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Perguntas frequentes

Quando usar substituição trigonométrica?
Use quando aparecer \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2} ou a^2 + x^2 elevado a uma potência, e uma substituição simples não resolver. Se houver um fator x fora da raiz, como em \int x\sqrt{1 - x^2}\,dx, tente primeiro a substituição simples.

Como voltar para x depois da substituição trigonométrica?
Desenhe um triângulo retângulo. Para x = 2\sin\theta, chame o cateto oposto de x e a hipotenusa de 2. O cateto adjacente é então \sqrt{4 - x^2}, e você lê \cos\theta, \tan\theta ou qualquer outra razão.

O que fazer com um polinômio do segundo grau que não está na forma padrão?
Complete o quadrado primeiro. Por exemplo, x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4, que tem a forma u^2 + a^2 com u = x + 1 e a = 2. Os exercícios 11 e 12 mostram isso.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

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