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Techniques d'intégration

Changement de variable trigonométrique : exercices corrigés

12 exercices corrigés de changement de variable trigonométrique avec solutions complètes pour √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) et la forme canonique.

Techniques d'intégration Mis à jour Lecture : 4 min

En bref

\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
Exercices
12, avec réponses et solutions complètes
Niveau
Analyse 2
Prérequis
Les intégrales trigonométriques et les identités de Pythagore
Idée principale
Choisir x pour que l'expression sous la racine devienne le carré parfait d'une fonction trigonométrique
S'entraîner avec de nouveaux nombres
Leçon sur le changement de variable trigonométrique
Sur cette page
  1. Exercices
  2. Réponses
  3. Solutions détaillées
  4. Erreurs fréquentes sur ces exercices
  5. Continuer à s'entraîner

Ces exercices sur le changement de variable trigonométrique couvrent les trois formes classiques, quelques cas où une formule s'applique directement, des intégrales définies et la mise sous forme canonique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

Choisissez le changement de variable selon la forme sous la racine :

Expression Changement de variable Identité utilisée
\sqrt{a^2 - x^2} x = a\sin\theta 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta
\sqrt{a^2 + x^2} x = a\tan\theta 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
\sqrt{x^2 - a^2} x = a\sec\theta \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta

Exercices

Application directe d'une formule

  1. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx

Changements de variable complets

  1. \displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  4. \displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx
  5. \displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx pour x > 1

Intégrales définies

  1. \displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx

Forme canonique d'abord

  1. \displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx

Réponses

Exercice Réponse
1 \arcsin\dfrac{x}{2} + C
2 \dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C
3 \ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C
4 \dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C
5 \dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C
6 -\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C
7 \dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C
8 \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C
9 \dfrac{\pi}{4}
10 \dfrac{\pi}{8}
11 \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C
12 \arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C

Solutions détaillées

1. Posez x = 2\sin\theta, donc dx = 2\cos\theta\,d\theta et \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta. L'intégrale devient \int d\theta = \theta :

\arcsin\frac{x}{2} + C

2. Posez x = 3\tan\theta, donc dx = 3\sec^2\theta\,d\theta et 9 + x^2 = 9\sec^2\theta :

\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C

3. Posez x = 3\tan\theta, donc \sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta et l'intégrale devient \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|. D'après le triangle, \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} et \tan\theta = \frac{x}{3}. Le \ln 3 qui apparaît est absorbé dans la constante :

\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C

4. Posez x = \sin\theta, l'intégrale devient \int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}. Avec \sin\theta = x et \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}, on obtient la réponse du tableau. Voir l'intégrale de √(1 − x²).

5. Posez x = 3\sin\theta. Alors x^2 = 9\sin^2\theta, dx = 3\cos\theta\,d\theta et \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta :

\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C

Comme \sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}, cela donne \frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C.

6. Posez x = 2\sin\theta. Alors x^2 = 4\sin^2\theta et \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta :

\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C

D'après le triangle, \cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}.

7. Posez x = 2\tan\theta. Alors (x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta et dx = 2\sec^2\theta\,d\theta :

\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C

D'après le triangle, \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.

8. Posez x = \sec\theta, donc dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta et \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta :

\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C

Avec \tan\theta = \sqrt{x^2 - 1} et \theta = \operatorname{arcsec} x, on obtient la réponse.

9. Utilisez l'exercice 4 : \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}. C'est un quart du disque unité.

10. Utilisez \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} :

\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}

11. Mettez sous forme canonique : x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4. Avec u = x + 1, on obtient \int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}.

12. Mettez sous forme canonique : 3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2. Avec u = x + 1, on obtient \int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

  • Choisir le mauvais changement de variable. \sqrt{9 + x^2} demande \tan, et non \sin. Repérez le signe dans le tableau ci-dessus.
  • Oublier de remplacer dx. Avec x = 2\tan\theta, dx = 2\sec^2\theta\,d\theta. Laisser dx tel quel fausse toutes les étapes suivantes.
  • Laisser la réponse en \theta. Une primitive en x doit s'exprimer en x. Utilisez le triangle.
  • Utiliser un changement trigonométrique quand un changement simple suffit. \int x\sqrt{4 - x^2}\,dx se fait en une ligne avec u = 4 - x^2.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la leçon sur le changement de variable trigonométrique et la leçon sur le choix d'une stratégie. Pour des exemples corrigés, lisez le guide du changement de variable trigonométrique. Pour les fonctions rationnelles sans racine, passez aux exercices sur la décomposition en éléments simples.

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Changement de variable trigonométrique

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Questions fréquentes

Quand utiliser un changement de variable trigonométrique ?
Quand vous voyez \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2}, ou a^2 + x^2 élevé à une puissance, et qu'un changement de variable plus simple ne fonctionne pas. Si un facteur x est en dehors de la racine, comme dans \int x\sqrt{1 - x^2}\,dx, essayez d'abord un changement de variable simple.

Comment revenir à x après un changement de variable trigonométrique ?
Dessinez un triangle rectangle. Pour x = 2\sin\theta, notez x le côté opposé et 2 l'hypoténuse. Le côté adjacent vaut alors \sqrt{4 - x^2}, et vous pouvez lire \cos\theta, \tan\theta ou tout autre rapport.

Que faire avec un trinôme qui n'est pas sous la forme standard ?
Mettez-le d'abord sous forme canonique. Par exemple, x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4, qui correspond à u^2 + a^2 avec u = x + 1 et a = 2. Les exercices 11 et 12 le montrent.

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