Integral de 2ˣ e aˣ: fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de 2ˣ é 2ˣ/ln 2 + C, e ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. Veja a dedução a partir de e^(x ln a), um gráfico, integrais definidas e exemplos.
Integrais exponenciais e logarítmicas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
- Base qualquer
- \int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C para a > 0, a \ne 1
- Método
- Reescreva a^x = e^{x\ln a} e depois divida por \ln a
- De 0 a 1
- \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443
- Valor de ln 2
- \approx 0.6931
Nesta página
A integral de 2^x é \dfrac{2^x}{\ln 2} + C. Toda exponencial a^x se integra do mesmo jeito: mantenha a exponencial e divida pelo logaritmo natural da base.
A fórmula geral vale para qualquer base a > 0 com a \ne 1.
Gráfico de 2ˣ com a área de 0 a 1
Como integrar 2ˣ passo a passo
O truque é transformar a base em e, já que você sabe integrar exponenciais de base e.
- Reescreva na base e. Como 2 = e^{\ln 2}, temos 2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}.
- Integre. \ln 2 é apenas uma constante, cerca de 0.693. Usando \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C da página da integral de e²ˣ: \int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C
- Volte para a base 2. e^{x\ln 2} = 2^x, então a resposta é \frac{2^x}{\ln 2} + C.
Troque 2 por a em todo lugar e você obtém a fórmula geral. A base precisa ser positiva para que \ln a esteja definido, e a \ne 1 para que \ln a \ne 0. (Para a = 1, 1^x = 1 e \int 1\,dx = x + C.)
Verificação por derivação
A derivada de 2ˣ é 2^x\ln 2. Então
Integrais definidas
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^1 2^x\,dx | \frac{2 - 1}{\ln 2} | \approx 1.443 |
| \int_0^3 2^x\,dx | \frac{8 - 1}{\ln 2} | \approx 10.099 |
| \int_0^2 3^x\,dx | \frac{9 - 1}{\ln 3} | \approx 7.282 |
| \int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx | \frac{1 - 0}{\ln 2} | \approx 1.443 |
Compare a segunda linha com uma soma: 2^0 + 2^1 + 2^2 = 7. A integral \frac{7}{\ln 2} é maior porque a área inclui a curva subindo entre os inteiros. Esse contraste entre somas e integrais reaparece no teste da integral.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: base 10. \displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C.
Exemplo 2: expoente linear. \displaystyle\int 2^{3x}\,dx. Seja u = 3x, du = 3\,dx:
Você também poderia escrever 2^{3x} = 8^x e obter \frac{8^x}{\ln 8}. Como \ln 8 = 3\ln 2, as respostas coincidem.
Exemplo 3: uma fração como base. \displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C.
Exemplo 4: junte as bases. \displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C.
Exemplo 5: uma substituição. \displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx. Com u = x^2, du = 2x\,dx:
Erros comuns
- Usar a regra da potência. \int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}. Compare com \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, em que a variável está na base; veja a integral de x².
- Multiplicar por \ln 2 em vez de dividir. Multiplicar é o que a derivação faz. A integração divide.
- Usar \log_{10}. A fórmula precisa do logaritmo natural. \int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}, e não \frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}.
- Aplicá-la a x^x. Quando a variável está na base e no expoente, nenhuma das regras vale, e \int x^x\,dx não tem resposta elementar.
Veja a página das funções exponenciais para mais sobre bases, e a integral de eˣ para o caso especial a = e.
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