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Intégrales exponentielles et logarithmiques

Intégrale de 2ˣ et de aˣ : formule, méthode et exemples

L'intégrale de 2ˣ vaut 2ˣ/ln 2 + C, et ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La démonstration à partir de e^(x ln a), un graphique, des intégrales définies et des exemples.

Intégrales exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C
Primitive
\dfrac{2^x}{\ln 2} + C
Base quelconque
\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C pour a > 0, a \ne 1
Méthode
Écrire a^x = e^{x\ln a}, puis diviser par \ln a
De 0 à 1
\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443
Valeur de ln 2
\approx 0.6931
Sur cette page
  1. Graphique de 2ˣ avec l'aire de 0 à 1
  2. Comment intégrer 2ˣ pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de 2^x est \dfrac{2^x}{\ln 2} + C. Toute exponentielle a^x s'intègre de la même façon : on garde l'exponentielle et on divise par le logarithme népérien de la base.

\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \qquad\qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

La formule générale est valable pour toute base a > 0 avec a \ne 1.

Graphique de 2ˣ avec l'aire de 0 à 1

y = 2ˣ, avec l'aire de 0 à 1 hachurée
L'aire hachurée vaut \frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443. La courbe en pointillés est la primitive \frac{2^x}{\ln 2}, environ 1.44 fois plus haute que 2^x partout.

Comment intégrer 2ˣ pas à pas

L'astuce consiste à passer en base e, puisque l'on sait déjà intégrer les exponentielles de base e.

  1. Réécrire en base e. Comme 2 = e^{\ln 2}, on a 2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}.
  2. Intégrer. \ln 2 est une simple constante, environ 0.693. Avec \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C, vu sur la page intégrale de e²ˣ : \int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C
  3. Revenir en base 2. e^{x\ln 2} = 2^x, donc le résultat est \frac{2^x}{\ln 2} + C.

En remplaçant 2 par a partout, on obtient la formule générale. La base doit être positive pour que \ln a soit défini, et a \ne 1 pour que \ln a \ne 0. (Pour a = 1, 1^x = 1 et \int 1\,dx = x + C.)

Vérification par dérivation

La dérivée de 2ˣ est 2^x\ln 2. Donc

\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) = \frac{2^x\ln 2}{\ln 2} = 2^x

Intégrales définies

Intégrale Calcul Valeur
\int_0^1 2^x\,dx \frac{2 - 1}{\ln 2} \approx 1.443
\int_0^3 2^x\,dx \frac{8 - 1}{\ln 2} \approx 10.099
\int_0^2 3^x\,dx \frac{9 - 1}{\ln 3} \approx 7.282
\int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx \frac{1 - 0}{\ln 2} \approx 1.443

Comparez la deuxième ligne avec une somme : 2^0 + 2^1 + 2^2 = 7. L'intégrale \frac{7}{\ln 2} est plus grande, car l'aire inclut la montée de la courbe entre les entiers. Ce contraste entre sommes et intégrales réapparaît dans le critère de comparaison série-intégrale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : base 10. \displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C.

Exemple 2 : un exposant affine. \displaystyle\int 2^{3x}\,dx. On pose u = 3x, du = 3\,dx :

\frac{1}{3}\int 2^u\,du = \frac{2^{3x}}{3\ln 2} + C

On peut aussi écrire 2^{3x} = 8^x et obtenir \frac{8^x}{\ln 8}. Comme \ln 8 = 3\ln 2, les résultats coïncident.

Exemple 3 : une fraction comme base. \displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C.

Exemple 4 : regrouper les bases. \displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C.

Exemple 5 : un changement de variable. \displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx. Avec u = x^2, du = 2x\,dx :

\frac{1}{2}\int 2^u\,du = \frac{2^{x^2}}{2\ln 2} + C

Erreurs fréquentes

  1. Utiliser la règle de la puissance. \int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}. Comparez avec \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, où la variable est la base ; voir l'intégrale de x².
  2. Multiplier par \ln 2 au lieu de diviser. Multiplier, c'est ce que fait la dérivation. L'intégration divise.
  3. Utiliser \log_{10}. La formule demande le logarithme népérien. \int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}, et non \frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}.
  4. L'appliquer à x^x. Quand la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant, aucune des deux règles ne s'applique, et \int x^x\,dx n'a pas de primitive élémentaire.

Voir la page fonctions exponentielles pour en savoir plus sur les bases, et l'intégrale de eˣ pour le cas particulier a = e.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de 2ˣ ?
C'est \frac{2^x}{\ln 2} + C, soit environ 1.443\cdot 2^x + C.

Quelle est l'intégrale de aˣ ?
C'est \frac{a^x}{\ln a} + C pour toute base constante a > 0 avec a \ne 1. Par exemple, \int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C.

L'intégrale de 2ˣ est-elle égale à 2^(x+1)/(x+1) ?
Non. C'est la règle de la puissance, qui ne s'applique que lorsque la variable est la base, comme dans x^2. Dans 2^x, la variable est l'exposant.

Quelle est l'intégrale de 2^(−x) ?
C'est -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C. On écrit 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x et on applique la formule avec a = \frac{1}{2}, où \ln\frac{1}{2} = -\ln 2.

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