Integral de x²: fórmula, dedução e exemplos

A integral de x^2 é \dfrac{x^3}{3} + C. Some um ao expoente e divida pelo novo expoente.

Gráfico: a área sob y = x²

Repare que a primitiva é horizontal em x = 0 (onde x^2 = 0) e nunca decresce, porque x^2 nunca é negativo.

Dedução pela regra da potência inversa

1. Parta da regra da potência inversa: \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n \ne -1.
2. Faça n = 2: o novo expoente é 3.
3. Divida por 3: \frac{x^3}{3}.
4. Some C.

Uma prova por somas de Riemann

Também é possível achar a área sob x^2 de 0 a b sem conhecer nenhuma primitiva. Divida [0, b] em n faixas de largura \frac{b}{n} e use os extremos direitos x_i = \frac{bi}{n}:

Quando n \to \infty, a fração \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} tende a \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, então a área é \frac{b^3}{3}. Isso confere com a primitiva. É o mesmo cálculo que Arquimedes fez para a parábola, e você pode praticá-lo no guia de somas de Riemann.

Verificação por derivação

Veja também a derivada de x².

Variante por substituição: integral de (ax + b)²

Com u = ax + b e du = a\,dx:

Por exemplo, \int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C. Verificação: a derivada é \frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2.

A mesma ideia resolve um fator extra de x: \int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C, usando u = x^2 + 1. Mais sobre isso na página da substituição (mudança de variável).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.

Exemplo 2. \int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C.

Exemplo 3. \int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}. Como x^2 é par, isso é o dobro de \int_0^2 x^2\,dx.

Exemplo 4: volume. Girar y = x em torno do eixo x em [0, h] gera um cone de volume \pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}, o conhecido \frac{1}{3}\pi r^2 h com r = h.

Erros comuns

1. Escrever 2x. Isso é a derivada, e não a integral.
2. Esquecer de dividir por 3. x^3 tem derivada 3x^2, e não x^2.
3. Integrar (2x + 1)^2 como \frac{(2x+1)^3}{3}. Também é preciso dividir pela derivada de dentro, 2.
4. Elevar ao quadrado a integral de x. A integral não se distribui sobre produtos.

Pratique com os exercícios de primitivas e os exercícios de integrais definidas.