Integral de ln x: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \ln x é x\ln x - x + C. Não existe uma regra inversa que desfaça o logaritmo diretamente, então o método padrão é a integração por partes com um fator 1 escondido.

Gráfico de ln x e de sua primitiva

Como integrar ln x passo a passo

Use a integração por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Escreva \ln x como um produto. \int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx.
2. Escolha as partes. u = \ln x e dv = dx. Então du = \frac{1}{x}\,dx e v = x.
3. Aplique a fórmula. \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx
4. Termine. \int 1\,dx = x, então a resposta é x\ln x - x + C.

Por que isso funciona? Derivar \ln x o transforma em \frac{1}{x}, que cancela o x de v. Na ordem LIATE, os logaritmos vêm primeiro, então quase sempre fazem o papel de u. O guia de integração por partes traz mais sobre a escolha de u.

Verificação por derivação

Pela regra do produto e pela derivada de ln x:

Integrais definidas

De 1 a e:

De 1 a 2: (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386.

De 0 a 1: essa é uma integral imprópria, já que \ln x \to -\infty perto de 0. Usando o limite x\ln x \to 0 quando x \to 0^+:

A resposta é negativa porque \ln x < 0 em (0, 1), então a área fica abaixo do eixo.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma constante dentro. \int\ln(2x)\,dx. Seja u = 2x, dx = \frac{du}{2}:

Exemplo 2: um logaritmo deslocado. \int\ln(x+1)\,dx. Seja u = x + 1, du = dx:

O -1 pode ser absorvido pelo C, então (x+1)\ln(x+1) - x + C também está certo.

Exemplo 3: logaritmo ao quadrado. \int(\ln x)^2\,dx. Tome u = (\ln x)^2, dv = dx, então du = \frac{2\ln x}{x}\,dx e v = x:

Exemplo 4: uma potência de x dentro. \int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C, depois da propriedade \ln(x^3) = 3\ln x.

Exemplo 5: base 10. Como \log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}, \int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C.

Erros comuns

1. Responder \frac{1}{x}. Essa é a derivada de \ln x. A integral de \frac{1}{x} é \ln\lvert x\rvert; veja a integral de 1/x.
2. Escolher u = 1, dv = \ln x\,dx. Aí você precisa de \int\ln x\,dx para achar v, justamente o que está tentando calcular.
3. Perder o -x. x\ln x sozinho tem derivada \ln x + 1, um a mais.
4. Confundir \ln x com \frac{\ln x}{x}. \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C é uma substituição, e não um problema de partes.

Para um logaritmo vezes uma potência de x, veja a integral de x ln x. Para logaritmos no denominador, veja a integral de 1/(x ln x).