Funções Exponenciais bˣ: Gráficos, Crescimento, Derivada e Integral

Uma função exponencial tem uma base constante elevada a uma potência variável, f(x) = b^x. Cada vez que x aumenta 1, o resultado é multiplicado pelo mesmo fator b. Por isso as exponenciais modelam juros compostos, crescimento populacional, meia-vida e qualquer grandeza que varia a uma porcentagem fixa.

Fórmula

De forma mais geral, f(x) = A\,b^x, em que A = f(0) é o valor inicial. As restrições sobre b são importantes: b = 1 dá a constante 1, e uma base negativa como (-2)^x não é real para a maioria dos x fracionários. A base mais importante é e; veja a função exponencial natural.

Gráficos de funções exponenciais

Propriedades principais

• Domínio todos os reais, imagem (0, \infty); o gráfico sempre passa por (0, 1).
• Crescimento (b > 1): crescente, b^x \to \infty quando x \to \infty e b^x \to 0 quando x \to -\infty.
• Decaimento (0 < b < 1): decrescente, com os limites opostos.
• Assíntota horizontal y = 0 nos dois casos. Não há interceptos com o eixo x.
• Concavidade para cima para toda base válida.
• A inversa é a função logarítmica \log_b x.
• Mudança de base: b^x = e^{x\ln b}.
• Propriedades das potências: b^{m}b^{n} = b^{m+n}, \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}, (b^m)^n = b^{mn}, b^{-n} = \frac{1}{b^n}.

Derivada de bˣ

Reescreva com base e e use a regra da cadeia:

A derivada é proporcional à própria função. Para b > 1, \ln b > 0 (crescimento); para 0 < b < 1, \ln b < 0 (decaimento). Com uma função interna, \frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x).

Integral de bˣ

Derive o lado direito para conferir: \frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5.

Exemplo 2: regra da cadeia. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x.

Exemplo 3: integral definida. \int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33.

Exemplo 4: meia-vida. Uma amostra com meia-vida de 5 anos tem A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}. A taxa de decaimento é

então, a cada instante, a amostra perde cerca de 13.9\% da sua quantidade atual por ano.

Exemplo 5: juros compostos. Com juros de 5\% ao ano, P(t) = P_0(1.05)^t. Com capitalização contínua, a expressão passa a ser P_0e^{0.05t}.

Erros comuns

1. Usar a regra da potência. \frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}.
2. Esquecer o fator \ln b, ou escrever \log_{10} b em vez de \ln b.
3. Multiplicar em vez de dividir ao integrar. \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, e não 2^x\ln 2 + C.
4. Escrever 2 \cdot 3^x = 6^x. O coeficiente não se combina com a base.

Como se conecta

As exponenciais crescem mais rápido que qualquer polinômio, um fato que está por trás de muitos problemas de limites no infinito e da regra de L'Hôpital. Progressões geométricas são exponenciais avaliadas em números inteiros, o que leva às séries geométricas. Para praticar mais derivadas, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.