practicecalculus
Começar
practicecalculus
Integrais trigonométricas

Integral de cos² x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de cos² x é x/2 + sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência, a verificação, cos²(ax) e a área do círculo.

Integrais trigonométricas Atualizado 2 min de leitura

Visão geral

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Primitiva
\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C
Identidade usada
\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}
Forma equivalente
\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C
De 0 a 2π
\pi
Verificação com sen²
\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C
Nesta página
  1. Gráfico de cos² x e de sua primitiva
  2. Dedução, passo a passo
  3. Verificação por derivação
  4. Integrais definidas
  5. Variantes por substituição
  6. Onde ela aparece: a área do círculo
  7. Exemplo resolvido: cos² x sen² x
  8. Erros comuns

A integral de \cos^2 x é \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C. Assim como \sin^2 x, ela precisa de uma identidade de redução de potência antes da integração.

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

Gráfico de cos² x e de sua primitiva

Área sob y = cos² x de -π/2 a π/2, com a primitiva y = x/2 + sen(2x)/4
A área sombreada é \frac{\pi}{2} \approx 1.571. A primitiva tracejada cresce mais rápido em x = 0, onde \cos^2 x = 1, e fica plana onde \cos^2 x = 0.

Dedução, passo a passo

  1. Parta de \cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
  2. Isole \cos^2 x: \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}.
  3. Substitua: \displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx.
  4. Integre: \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C.
  5. Simplifique: \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.

O passo 4 usa a integral de cos x com um fator \frac{1}{2} vindo do 2x de dentro.

Verificação por derivação

\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark

Uma segunda verificação: some esta resposta à integral de sen² x:

\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x

Isso confere com \int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x. O sentido direto está na página da derivada de cos² x.

Integrais definidas

\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi
\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478

Variantes por substituição

\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C

Exemplo 1. \int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C.

Exemplo 2. \int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Exemplo 3: com um fator sen x. \int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C, usando u = \cos x. Nenhuma identidade é necessária.

Onde ela aparece: a área do círculo

A área de um círculo de raio 1 é 4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx. Substitua x = \sin\theta, dx = \cos\theta\,d\theta:

4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi

Os mesmos passos dão a integral de √(1 - x²). Veja o método em substituição trigonométrica.

Exemplo resolvido: cos² x sen² x

Use \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}, então \sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}. Assim,

\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

Erros comuns

  1. Responder \sin^2 x. Sua derivada é 2\sin x\cos x.
  2. Responder \frac{\cos^3 x}{3}. Isso exigiria um fator -\sin x.
  3. Usar 1 - \cos 2x. Essa identidade é a de \sin^2 x. Um teste rápido: em x = 0, \cos^2 x = 1, e \frac{1 + \cos 0}{2} = 1.
  4. Escrever \frac{\sin 2x}{2} em vez de \frac{\sin 2x}{4}. Lembre das duas divisões por dois: uma da identidade e outra do 2x de dentro.

Pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.

Pratique agora

Potências de seno e cosseno

Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.

Praticar esta lição

Perguntas frequentes

Qual é a integral de cos² x?
É \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C, ou, de forma equivalente, \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C.

Qual é a integral de cos² x de 0 a 2π?
É \pi. O termo \sin 2x vale 0 nas duas extremidades, e sobra \frac{2\pi}{2}.

Qual é a integral de cos²(x/2)?
Como \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}, a integral é \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Qual é a integral de cos² x sen x?
Use u = \cos x, du = -\sin x\,dx. A resposta é -\frac{\cos^3 x}{3} + C.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

integrais relacionados

Integral de sen² x \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C A integral de sen² x é x/2 - sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência passo a passo, a verificação por derivação, sen²(ax) e integrais definidas. Integral de cos x \int \cos x\,dx = \sin x + C A integral de cos x é sen x + C. Veja por que não há sinal de menos, a área de um arco, cos(ax + b) por substituição e exemplos de integrais definidas. Integral de √(1−x²) \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C A integral de √(1−x²) é ½(x√(1−x²) + arcsen x) + C. Aprenda a substituição trigonométrica, a ligação com a área do círculo e exemplos resolvidos.