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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von cos² x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von cos² x ist x/2 + sin(2x)/4 + C. Mit Formel zur Potenzreduktion, Probe, cos²(ax) und dem Flächeninhalt des Kreises.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Stammfunktion
\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C
Verwendete Identität
\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}
Gleichwertige Form
\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C
Von 0 bis 2π
\pi
Kontrolle mit sin²
\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von cos² x und seiner Stammfunktion
  2. Herleitung Schritt für Schritt
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmte Integrale
  5. Varianten mit Substitution
  6. Wo es auftaucht: der Flächeninhalt des Kreises
  7. Rechenbeispiel: cos² x sin² x
  8. Häufige Fehler

Das Integral von \cos^2 x ist \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C. Wie bei \sin^2 x brauchst du vor dem Integrieren eine Formel zur Potenzreduktion.

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

Graph von cos² x und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = cos² x von -π/2 bis π/2, mit der Stammfunktion y = x/2 + sin(2x)/4
Die schraffierte Fläche ist \frac{\pi}{2} \approx 1.571. Die gestrichelte Stammfunktion steigt bei x = 0, wo \cos^2 x = 1 ist, am stärksten und wird flach, wo \cos^2 x = 0 ist.

Herleitung Schritt für Schritt

  1. Starte mit \cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
  2. Löse nach \cos^2 x auf: \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}.
  3. Setze ein: \displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx.
  4. Integriere: \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C.
  5. Vereinfache: \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.

Schritt 4 verwendet das Integral von cos x, mit einem Faktor \frac{1}{2} wegen der inneren Funktion 2x.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark

Eine zweite Kontrolle: Addiere dieses Ergebnis zum Integral von sin² x:

\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x

Das passt zu \int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x. Die andere Richtung findest du auf der Seite zur Ableitung von cos² x.

Bestimmte Integrale

\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi
\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478

Varianten mit Substitution

\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C

Beispiel 1. \int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C.

Beispiel 2. \int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Beispiel 3: mit einem Faktor sin x. \int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C, mit u = \cos x. Keine Identität nötig.

Wo es auftaucht: der Flächeninhalt des Kreises

Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 1 ist 4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx. Substituiere x = \sin\theta, dx = \cos\theta\,d\theta:

4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi

Dieselben Schritte liefern das Integral von √(1 - x²). Die Methode erklärt der Leitfaden zur trigonometrischen Substitution.

Rechenbeispiel: cos² x sin² x

Verwende \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}, also \sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}. Dann ist

\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

Häufige Fehler

  1. \sin^2 x angeben. Die Ableitung davon ist 2\sin x\cos x.
  2. \frac{\cos^3 x}{3} angeben. Dafür bräuchte man einen Faktor -\sin x.
  3. 1 - \cos 2x verwenden. Diese Identität gehört zu \sin^2 x. Ein schneller Test: Bei x = 0 ist \cos^2 x = 1, und \frac{1 + \cos 0}{2} = 1.
  4. \frac{\sin 2x}{2} statt \frac{\sin 2x}{4} schreiben. Denk an beide Halbierungen: eine aus der Identität, eine aus der inneren Funktion 2x.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von cos² x?
Es ist \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C, oder gleichwertig \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C.

Was ist das Integral von cos² x von 0 bis 2π?
Es ist \pi. Der Summand mit \sin 2x ist an beiden Grenzen 0, übrig bleibt \frac{2\pi}{2}.

Was ist das Integral von cos²(x/2)?
Da \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} ist, ergibt sich \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Was ist das Integral von cos² x sin x?
Setze u = \cos x, du = -\sin x\,dx. Das Ergebnis ist -\frac{\cos^3 x}{3} + C.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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