Integral de eˣ sen x: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de e^x\sin x é \dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C. É a famosa integral "em ciclo": a integração por partes nunca termina sozinha, mas depois de dois passos dá para isolar a resposta com álgebra.

Gráfico de eˣ sen x

Como integrar eˣ sen x passo a passo

Chame a integral de I. Use a integração por partes com a função trigonométrica como u nas duas vezes.

1. Primeira passada. u = \sin x, dv = e^x\,dx, então du = \cos x\,dx e v = e^x: I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx
2. Segunda passada, em \int e^x\cos x\,dx. De novo a função trigonométrica é o u: u = \cos x, dv = e^x\,dx, então du = -\sin x\,dx, v = e^x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I
3. Substitua de volta. A integral original reapareceu: I = e^x\sin x - e^x\cos x - I
4. Isole I. Some I aos dois lados: 2I = e^x(\sin x - \cos x), então I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

O + C entra no final, depois de isolar. Também funciona com u = e^x nas duas vezes. O que falha é trocar: se você toma u = \sin x na primeira e u = e^x na segunda, o segundo passo desfaz o primeiro e você obtém I = I.

Verificação por derivação

A fórmula geral

O mesmo ciclo de dois passos para e^{ax}\sin bx e e^{ax}\cos bx dá

Com a = b = 1 o denominador é 2, o que confere com o resultado acima.

Um caminho mais rápido com números complexos. Como e^{ix} = \cos x + i\sin x, e^x\sin x é a parte imaginária de e^{(1+i)x}. Integrando, obtemos \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x), cuja parte imaginária é \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x).

Integrais definidas

De 0 a π:

De 0 a π/2: \frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905.

Versão amortecida. \int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx. Use a fórmula com a = -1, b = 1: a primitiva é \frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}, que tende a 0 no infinito. Então o valor é 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: eˣ cos x. Pelo passo 2 acima, \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Substitua I:

Exemplo 2: taxas diferentes. \int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C, usando a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13.

Exemplo 3: vibração amortecida. O deslocamento de uma mola é e^{-t}\cos t. Seu deslocamento total com sinal em [0, \infty) é \int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}, pela fórmula do cosseno com a = -1, b = 1: a primitiva \frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2} vai de -\frac{1}{2} a 0.

Erros comuns

1. Trocar a escolha de u entre as duas passadas. Você termina com I = I, o que é verdade mas inútil.
2. Esquecer de dividir por 2. Depois do passo 3 você tem 2I, e não I.
3. Erros de sinal na segunda passada. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, então a segunda integral é somada, e não subtraída.
4. Esperar que as partes terminem. Com x\sin x a potência de x desaparece; com e^x\sin x nada desaparece, então você precisa do ciclo. Compare com a integral de x sen x.

A lição de partes repetidas e LIATE pratica esse ciclo, e o guia de integração por partes traz mais exemplos.