Integral von eˣ sin x: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von e^x\sin x ist \dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C. Es ist das berühmte „Kreis“-Integral: Die partielle Integration endet von allein nie, aber nach zwei Schritten kannst du das Ergebnis algebraisch auflösen.

Graph von eˣ sin x

eˣ sin x Schritt für Schritt integrieren

Nenne das Integral I. Verwende partielle Integration, beide Male mit der trigonometrischen Funktion als u.

1. Erster Durchgang. u = \sin x, dv = e^x\,dx, also du = \cos x\,dx und v = e^x: I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx
2. Zweiter Durchgang, für \int e^x\cos x\,dx. Wieder ist die trigonometrische Funktion u: u = \cos x, dv = e^x\,dx, also du = -\sin x\,dx, v = e^x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I
3. Zurück einsetzen. Das ursprüngliche Integral ist wieder da: I = e^x\sin x - e^x\cos x - I
4. Nach I auflösen. Addiere I auf beiden Seiten: 2I = e^x(\sin x - \cos x), also I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

Das + C kommt erst am Ende, nach dem Auflösen. Mit u = e^x in beiden Durchgängen funktioniert es genauso. Schief geht es nur beim Wechseln: Nimmst du zuerst u = \sin x und dann u = e^x, macht der zweite Schritt den ersten rückgängig, und du erhältst I = I.

Probe durch Ableiten

Die allgemeine Formel

Derselbe Kreisschluss in zwei Schritten liefert für e^{ax}\sin bx und e^{ax}\cos bx

Mit a = b = 1 ist der Nenner 2, passend zum Ergebnis oben.

Ein schnellerer Weg mit komplexen Zahlen. Wegen e^{ix} = \cos x + i\sin x ist e^x\sin x der Imaginärteil von e^{(1+i)x}. Integrieren ergibt \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x), und dessen Imaginärteil ist \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x).

Bestimmte Integrale

Von 0 bis π:

Von 0 bis π/2: \frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905.

Gedämpfte Variante. \int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx. Verwende die Formel mit a = -1, b = 1: Die Stammfunktion ist \frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2} und geht im Unendlichen gegen 0. Der Wert ist also 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eˣ cos x. Aus Schritt 2 oben gilt \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Setze I ein:

Beispiel 2: verschiedene Raten. \int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C, mit a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13.

Beispiel 3: gedämpfte Schwingung. Die Auslenkung einer Feder ist e^{-t}\cos t. Ihre gesamte orientierte Auslenkung über [0, \infty) ist \int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}, nach der Kosinus-Formel mit a = -1, b = 1: Die Stammfunktion \frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2} geht von -\frac{1}{2} nach 0.

Häufige Fehler

1. Die Wahl von u zwischen den beiden Durchgängen wechseln. Am Ende steht I = I, was stimmt, aber nichts nützt.
2. Das Teilen durch 2 vergessen. Nach Schritt 3 hast du 2I, nicht I.
3. Vorzeichenfehler im zweiten Durchgang. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, also wird das zweite Integral addiert, nicht subtrahiert.
4. Erwarten, dass die partielle Integration von selbst endet. Bei x\sin x fällt die Potenz von x weg; bei e^x\sin x fällt nichts weg, also brauchst du den Kreisschluss. Vergleiche das Integral von x sin x.

Die Lektion Mehrfache partielle Integration und LIATE übt diesen Kreisschluss, und der Leitfaden zur partiellen Integration zeigt weitere Beispiele.