Integral de x sen x: fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de x sen x é sen x − x cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação por derivação, um gráfico e exemplos como x² sen x.
Produtos e integração por partes Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \sin x - x\cos x + C
- Método
- Integração por partes com u = x, dv = \sin x\,dx
- De 0 a π
- \pi
- De 0 a π/2
- 1
- Com sen(kx)
- \int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C
Nesta página
A integral de x\sin x é \sin x - x\cos x + C. É uma potência de x vezes uma função trigonométrica, um problema clássico de integração por partes.
Gráfico de x sen x
Como integrar x sen x passo a passo
A fórmula da integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Escolha as partes. u = x e dv = \sin x\,dx. Na regra LIATE, as algébricas vêm antes das trigonométricas.
- Ache du e v. du = dx e v = -\cos x, pela integral de sen x.
- Aplique a fórmula. \int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx
- Termine. \int\cos x\,dx = \sin x, então \int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C
Se você escolher u = \sin x e dv = x\,dx, a integral que sobra é \int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx, com uma potência maior. Esse é o sinal para trocar.
Verificação por derivação
Os termos com \cos x se cancelam, e a regra do produto aplicada a x\cos x fornece o x\sin x.
Integrais definidas
Seja F(x) = \sin x - x\cos x.
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx | F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0 | 1 |
| \int_0^{\pi} x\sin x\,dx | F(\pi) - F(0) = \pi - 0 | \pi |
| \int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi | -3\pi |
| \int_0^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(0) | -2\pi |
Em geral, o arco de k\pi a (k+1)\pi tem área (2k+1)\pi, com sinal (-1)^k. A área total (sem sinal) de 0 a 2\pi é \pi + 3\pi = 4\pi.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: ângulo multiplicado. \int x\sin 2x\,dx. Com u = x, dv = \sin 2x\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x:
Exemplo 2: x ao quadrado, com o método tabular. Para \int x^2\sin x\,dx, derive x^2 até chegar a 0 e integre \sin x ao lado, com sinais alternados:
| Sinal | Derivar | Integrar |
|---|---|---|
| + | x^2 | \sin x |
| - | 2x | -\cos x |
| + | 2 | -\sin x |
| 0 | \cos x |
Multiplique ao longo das diagonais:
Exemplo 3: um volume. Girando o primeiro arco de y = \sin x (de 0 a \pi) em torno do eixo y, o método das cascas cilíndricas dá
Veja o guia de volumes de revolução para a montagem.
Exemplo 4: ângulo deslocado. \int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C, já que a expressão de dentro tem inclinação 1.
Erros comuns
- Errar o v. \int\sin x\,dx = -\cos x, e não \cos x. A maioria dos erros neste problema é de sinal.
- Perder o duplo negativo. -\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx.
- Escolher u = \sin x. A integral que sobra passa a ter x^2.
- Esquecer \frac{1}{k} e \frac{1}{k^2} com \sin kx. Derive sua resposta para conferir.
Compare com a integral de x cos x, que tem os mesmos passos com sinais diferentes. Mais prática no guia de integração por partes.
Pratique agora
Integração por partes
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição