Integral de |x| (módulo de x): fórmula, dedução e exemplos

A integral de \lvert x\rvert é \dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C. Como \lvert x\rvert é definida em duas partes, o jeito mais limpo de achar sua integral é integrar cada parte e depois juntá-las.

Gráfico de |x| e de sua primitiva

A primitiva é sempre crescente, já que \lvert x\rvert \ge 0. Ela tem um ponto de tangente horizontal na origem, onde \lvert x\rvert = 0, e é suave ali, embora \lvert x\rvert tenha um bico.

Dedução, parte por parte

1. Separe a função: \lvert x\rvert = x para x \ge 0 e \lvert x\rvert = -x para x < 0.
2. Integre cada parte com a integral de x: \frac{x^2}{2} à direita e -\frac{x^2}{2} à esquerda.
3. Faça as partes se encontrarem em x = 0. As duas valem 0 ali, então não é preciso nenhuma constante extra.
4. Escreva as duas partes numa só fórmula. Como x\lvert x\rvert = x^2 para x \ge 0 e x\lvert x\rvert = -x^2 para x < 0, a primitiva é \frac{x\lvert x\rvert}{2}.
5. Some C.

Também dá para escrever a resposta como \frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C, em que \operatorname{sgn}(x) é o sinal de x.

Verificação por derivação

Para x > 0: \frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert. Para x < 0: \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert. Em x = 0 as duas inclinações laterais valem 0, então a derivada é 0 = \lvert 0\rvert. A verificação funciona em todo ponto. Compare com a derivada de |x|, que não existe em 0.

Integrais definidas: separe onde o sinal muda

Numa integral definida raramente você precisa da fórmula da primitiva. Divida o intervalo onde a expressão entre as barras se anula e use as propriedades da integral definida.

Exemplo 1. \int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}.

Exemplo 2. \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2 para qualquer a > 0. A função é par, então isso é o dobro de \int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}.

Exemplo 3: expressão deslocada. Em \int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx, a expressão interna se anula em x = 1:

Exemplo 4: distância total. Se a velocidade é v(t) = t - 2 em [0, 5], o deslocamento é \int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}, mas a distância total percorrida é \int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}. Esse é o motivo mais comum para integrar um módulo.

Variante por substituição

Com uma expressão linear dentro, \int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C. Por exemplo, \int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C.

Erros comuns

1. Responder \frac{x^2}{2} + C. Isso só está certo para x \ge 0.
2. Responder \left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C. Sua derivada é x, que é negativa para x < 0.
3. Obter 0 para \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx. \lvert x\rvert é par, e não ímpar. Nada se cancela.
4. Separar no ponto errado. Para \lvert x - 1\rvert, separe em x = 1, e não em x = 0.

Pratique esse tipo de separação nos exercícios de integrais definidas.