Intégrale de |x| : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de \lvert x\rvert est \dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C. Comme \lvert x\rvert est définie en deux morceaux, le plus simple pour trouver son intégrale est d'intégrer chaque morceau puis de les recoller.

Graphique de |x| et de sa primitive

La primitive est toujours croissante, puisque \lvert x\rvert \ge 0. Elle a une tangente horizontale à l'origine, où \lvert x\rvert = 0, et elle y est lisse alors que \lvert x\rvert présente un point anguleux.

Démonstration, morceau par morceau

1. Séparer la fonction : \lvert x\rvert = x pour x \ge 0 et \lvert x\rvert = -x pour x < 0.
2. Intégrer chaque morceau avec l'intégrale de x : \frac{x^2}{2} à droite, -\frac{x^2}{2} à gauche.
3. Les raccorder en x = 0. Les deux morceaux y valent 0, donc aucune constante supplémentaire n'est nécessaire.
4. Écrire les deux morceaux en une seule formule. Comme x\lvert x\rvert = x^2 pour x \ge 0 et x\lvert x\rvert = -x^2 pour x < 0, la primitive est \frac{x\lvert x\rvert}{2}.
5. Ajouter C.

On peut aussi écrire le résultat \frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C, où \operatorname{sgn}(x) est le signe de x.

Vérification par dérivation

Pour x > 0 : \frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert. Pour x < 0 : \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert. En x = 0, les deux pentes à gauche et à droite valent 0, donc la dérivée vaut 0 = \lvert 0\rvert. La vérification fonctionne partout. Comparez avec la dérivée de |x|, qui n'existe pas en 0.

Intégrales définies : couper au changement de signe

Pour une intégrale définie, on a rarement besoin de la formule de la primitive. On coupe l'intervalle là où l'expression entre les barres s'annule, puis on utilise les propriétés de l'intégrale définie.

Exemple 1. \int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}.

Exemple 2. \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2 pour tout a > 0. La fonction est paire, donc c'est le double de \int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}.

Exemple 3 : intérieur décalé. Pour \int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx, l'intérieur s'annule en x = 1 :

Exemple 4 : distance totale. Si la vitesse est v(t) = t - 2 sur [0, 5], le déplacement vaut \int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}, mais la distance totale parcourue vaut \int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}. C'est la raison la plus courante d'intégrer une valeur absolue.

Variante par changement de variable

Pour un intérieur affine, \int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C. Par exemple, \int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C.

Erreurs fréquentes

1. Répondre \frac{x^2}{2} + C. Ce n'est correct que pour x \ge 0.
2. Répondre \left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C. Sa dérivée est x, qui est négative pour x < 0.
3. Trouver 0 pour \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx. \lvert x\rvert est paire, pas impaire. Rien ne se compense.
4. Couper au mauvais endroit. Pour \lvert x - 1\rvert, on coupe en x = 1, pas en x = 0.

Entraînez-vous à ce découpage avec les exercices sur les intégrales définies.