Integral von |x|: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \lvert x\rvert ist \dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C. Weil \lvert x\rvert abschnittsweise definiert ist, integrierst du am saubersten jedes Stück einzeln und setzt die Teile dann zusammen.

Graph von |x| und seiner Stammfunktion

Die Stammfunktion steigt immer, denn \lvert x\rvert \ge 0. Im Ursprung, wo \lvert x\rvert = 0 ist, hat sie eine waagerechte Tangente, und sie ist dort glatt, obwohl \lvert x\rvert einen Knick hat.

Herleitung Stück für Stück

1. Teile die Funktion auf: \lvert x\rvert = x für x \ge 0 und \lvert x\rvert = -x für x < 0.
2. Integriere jedes Stück mit dem Integral von x: rechts \frac{x^2}{2}, links -\frac{x^2}{2}.
3. Lass die Stücke bei x = 0 zusammentreffen. Beide sind dort 0, also brauchst du keine zusätzliche Konstante.
4. Schreibe beide Stücke als eine Formel. Da x\lvert x\rvert = x^2 für x \ge 0 und x\lvert x\rvert = -x^2 für x < 0 gilt, ist die Stammfunktion \frac{x\lvert x\rvert}{2}.
5. Ergänze C.

Du kannst das Ergebnis auch als \frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C schreiben, wobei \operatorname{sgn}(x) das Vorzeichen von x ist (Signumfunktion).

Probe durch Ableiten

Für x > 0: \frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert. Für x < 0: \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert. Bei x = 0 sind beide einseitigen Steigungen 0, also ist die Ableitung 0 = \lvert 0\rvert. Die Probe gelingt überall. Vergleiche mit der Ableitung von |x|, die bei 0 nicht existiert.

Bestimmte Integrale: beim Vorzeichenwechsel aufteilen

Für ein bestimmtes Integral brauchst du die Formel für die Stammfunktion selten. Teile das Intervall dort, wo der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen null wird, und nutze dann die Eigenschaften bestimmter Integrale.

Beispiel 1. \int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}.

Beispiel 2. \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2 für jedes a > 0. Die Funktion ist gerade, also ist das Integral doppelt so groß wie \int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}.

Beispiel 3: verschobener Betrag. Bei \int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx wird der Ausdruck im Betrag bei x = 1 null:

Beispiel 4: zurückgelegter Weg. Ist die Geschwindigkeit v(t) = t - 2 auf [0, 5], dann ist die Verschiebung \int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}, der insgesamt zurückgelegte Weg aber \int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}. Das ist der häufigste Grund, einen Betrag zu integrieren.

Variante mit Substitution

Bei einer linearen inneren Funktion gilt \int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C. Zum Beispiel ist \int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C.

Häufige Fehler

1. \frac{x^2}{2} + C angeben. Das stimmt nur für x \ge 0.
2. \left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C angeben. Die Ableitung davon ist x, und das ist für x < 0 negativ.
3. 0 für \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx herausbekommen. \lvert x\rvert ist gerade, nicht ungerade. Da hebt sich nichts auf.
4. An der falschen Stelle aufteilen. Bei \lvert x - 1\rvert teilst du bei x = 1, nicht bei x = 0.

Übe diese Art der Aufteilung mit den Aufgaben zu bestimmten Integralen.