CB0707 UFC Cálculo Fundamental III: ementa, guia e exercícios

Cálculo Fundamental III (CB0707) é a terceira disciplina de cálculo do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará. A ementa oficial, preparada para Engenharia Elétrica, indica 4 créditos teóricos e Cálculo Fundamental II como pré-requisito. É a disciplina que reúne integrais múltiplas e cálculo vetorial. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

O que a CB0707 cobre

A ementa está em duas partes. A primeira parte começa com uma revisão de diferenciabilidade de funções e aplicações de várias variáveis e segue para problemas de máximos e mínimos, incluindo máximos e mínimos condicionados. Depois vêm os campos vetoriais: campos conservativos, o lema de Poincaré, EDPs de primeira ordem, o rotacional e o divergente com interpretações geométrica e física, e o laplaciano. A parte fecha com as equações diferenciais parciais da Física Matemática, deduzidas a partir de pressupostos físicos ou variacionais.

A segunda parte trata de integrais de linha, integrais múltiplas e integrais de superfície, e da análise vetorial com os teoremas de Green, Gauss, Stokes e Cauchy. As aplicações citadas são a teoria do potencial, o eletromagnetismo e a mecânica dos fluidos.

Em termos internacionais, a CB0707 corresponde à segunda metade de um Calculus 3: extremos condicionados, integrais múltiplas e cálculo vetorial, com mais ligação à física do que é comum.

Mapa de temas da CB0707

O teorema de Cauchy (da análise complexa) e a dedução das EDPs da Física Matemática não têm lição própria aqui; use o material da disciplina para esses tópicos.

A sequência de cálculo da UFC

Exemplos de exercícios no nível da CB0707

1. Rotacional. Para \mathbf{F} = (yz,\ xz,\ xy), \nabla\times\mathbf{F} = (x - x,\ y - y,\ z - z) = \mathbf{0}, então o campo é conservativo, com potencial f = xyz.

2. Integral dupla. Sobre o triângulo 0 \le y \le x \le 1:

3. Lagrange. Minimizar x^2 + y^2 sujeito a x + 2y = 5: (2x, 2y) = \lambda(1, 2) dá y = 2x, então x = 1, y = 2 e o mínimo é 5.

Como ir bem na CB0707

• Entenda o sentido físico dos operadores. Divergente mede fonte, rotacional mede giro; isso ajuda a escolher entre Gauss e Stokes.
• Desenhe a região antes de montar qualquer integral múltipla.
• Teste se o campo é conservativo antes de parametrizar uma curva: pode poupar todo o cálculo.
• Pratique na prática e revise os erros comuns de cálculo antes das provas.

Dica: Green, Gauss e Stokes são versões do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões maiores: a integral de uma derivada sobre uma região é igual a uma integral sobre a fronteira. Pensar assim torna os enunciados fáceis de lembrar.