CB0705 UFC Cálculo Fundamental II: ementa, guia e exercícios

Cálculo Fundamental II (CB0705) é a segunda disciplina de cálculo do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará. A ementa oficial, preparada para Engenharia Elétrica, indica 4 créditos teóricos e Cálculo Fundamental I como pré-requisito. É uma disciplina de transição: termina o cálculo de uma variável e abre o de várias. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

O que a CB0705 cobre

A ementa está organizada em quatro partes. A primeira parte completa o cálculo integral: revisão de trigonometria, coordenadas polares, integrais trigonométricas, integração por frações parciais e algumas integrais impróprias. Seguem as aplicações da integração: comprimento de arco, áreas, volumes de revolução, crescimento populacional, decaimento, trabalho, centro de massa, oscilações e distribuições de probabilidade. A parte termina com soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos numéricos de integração.

A segunda parte introduz funções reais de duas e três variáveis, com representações geométricas, funções afins e quadráticas, topologia do plano e do espaço (conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, convexos), sequências de pontos e limites. Também trata de funções vetoriais, como curvas e campos, com coordenadas polares, cilíndricas e esféricas como exemplos, e de sua continuidade.

A terceira parte estuda derivadas direcionais e derivadas parciais, diferenciabilidade, condições suficientes, a representação matricial da diferencial e as regras de derivação. A quarta parte trata do gradiente, curvas de nível, plano tangente ao gráfico, derivadas de segunda ordem e a matriz Hessiana, traçado de gráficos e superfícies de nível, e curvas no plano e no espaço com comprimento, curvatura, torção, velocidade e aceleração.

Em termos internacionais, a CB0705 mistura a parte de integração de um Calculus 2 com o início de um Calculus 3.

Mapa de temas da CB0705

A sequência de cálculo da UFC

Exemplos de exercícios no nível da CB0705

1. Frações parciais. \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right), então \displaystyle\int \frac{dx}{x^2-1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.

2. Integral imprópria. \displaystyle\int_0^\infty e^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{1 - e^{-2b}}{2} = \frac{1}{2}.

3. Gradiente e plano tangente. Para f(x,y) = x^2 + 3xy em (1, 2): f = 7, f_x = 2x + 3y = 8, f_y = 3x = 3. O plano tangente é z = 7 + 8(x - 1) + 3(y - 2).

Como ir bem na CB0705

• Domine frações parciais cedo. Voltam em integrais impróprias, EDOs e aplicações.
• Monte a integral antes de calcular. Nas aplicações, a dificuldade quase sempre está em escrever o elemento de área, volume ou trabalho.
• Pratique derivadas parciais na prática para chegar tranquilo à quarta parte.
• Use o formulário para integrais trigonométricas e identidades.

Dica: antes de escolher uma técnica de integração, pergunte nesta ordem: é uma substituição simples? é um produto (partes)? é uma fração racional (frações parciais)? tem potências de seno e cosseno (integrais trigonométricas)? A lição escolher a estratégia treina exatamente isso.