MAT002 UFMG Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAT002 Cálculo Diferencial e Integral III é a terceira disciplina de cálculo da UFMG, cursada depois da MAT039 por engenharias, Física, Matemática e outros cursos de exatas. Ela trata da integração em várias variáveis e termina nos teoremas de Gauss e Stokes. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

O que a MAT002 cobre

O ementário do curso de Física da UFMG descreve a MAT002 com três itens: integração de funções de duas ou mais variáveis, integrais de linha e de superfície, e os teoremas de Gauss e de Stokes. A disciplina tem 4 créditos e 60 horas, é obrigatória no terceiro período do curso de Física e exige a MAT039.

Na prática, isso inclui integrais duplas e triplas, mudanças de coordenadas, integrais de linha de campos escalares e vetoriais, campos conservativos, Teorema de Green, integrais de superfície e fluxo, e os teoremas da divergência (Gauss) e de Stokes. É a metade integral de um Calculus 3 internacional.

Mapa de temas da MAT002

MAT002 na sequência da UFMG

O gradiente e as superfícies quádricas da MAT039 são usados o tempo todo aqui: o gradiente reaparece nos campos conservativos, e as quádricas são as regiões e superfícies sobre as quais se integra.

Exemplos de exercícios no nível da MAT002

1. Troca da ordem de integração. A integral \int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx não tem primitiva elementar em y, mas trocando a ordem:

2. Cilíndricas. O volume dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1 entre z = 0 e z = 3:

3. Teorema de Gauss. Para F = (x, y, z) e a bola de raio 2, \nabla \cdot F = 3, então o fluxo para fora é

Como ir bem na MAT002

• Desenhe a região antes de qualquer conta. É ali que nascem os limites de integração.
• Escolha bem as coordenadas. Simetria circular pede polares ou cilíndricas; simetria esférica pede esféricas. Treine na prática.
• Verifique a orientação de curvas e superfícies antes de aplicar Green, Gauss ou Stokes.
• Revise primitivas no formulário: toda integral múltipla termina em integrais simples.

Dica: quando uma integral dupla parecer impossível, tente trocar a ordem de integração antes de procurar outra técnica, como no primeiro exemplo acima.