MAT039 UFMG Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAT039 Cálculo Diferencial e Integral II é a segunda disciplina de cálculo da UFMG. Em 60 horas, ela fecha o cálculo de uma variável com séries e a Fórmula de Taylor e abre o cálculo de várias variáveis com derivadas parciais e otimização. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

O que a MAT039 cobre

O programa do Departamento de Matemática lista seis blocos. Sequências numéricas (limites, sequências monótonas e limitadas) e séries numéricas (série geométrica e harmônica, critérios para séries de termos positivos e alternadas, convergência absoluta e condicional). Séries de potências (raio e intervalo de convergência, derivação e integração termo a termo, desenvolvimentos de \sin x, \cos x, e^x, \ln(1+x)). A Fórmula de Taylor com avaliação do resto. Seções cônicas e coordenadas polares, com áreas e comprimentos de curvas.

O último bloco é o de funções reais de várias variáveis: domínios, gráficos, superfícies de nível, superfícies cilíndricas e quádricas, limite e continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e reta normal, derivadas de ordem superior e o teorema da inversão da ordem de derivação, regra da cadeia e derivação implícita, derivada direcional e gradiente, máximos e mínimos locais, absolutos e condicionados.

Em termos internacionais, a MAT039 é a segunda metade de um Calculus 2 mais a parte diferencial de um Calculus 3.

Mapa de temas da MAT039

MAT039 na sequência da UFMG

Na UFMG, a MAT039 também é pré-requisito de disciplinas de equações diferenciais, como a MAT015 no curso de Física.

Exemplos de exercícios no nível da MAT039

1. Série geométrica.

2. Raio de convergência. Para \sum \frac{x^n}{n \, 2^n}, o teste da razão dá \lim \frac{|x|}{2} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{|x|}{2}, logo o raio é R = 2.

3. Plano tangente. Para z = x^2 + y^2 no ponto (1, 2, 5): z_x = 2, z_y = 4, e

Como ir bem na MAT039

• Separe os blocos no estudo. Séries, polares e várias variáveis usam técnicas bem diferentes; pratique cada um na prática.
• Monte uma tabela de séries de Maclaurin e confira no formulário.
• Desenhe curvas de nível e quádricas. Visualizar ajuda muito no gradiente e nos extremos.
• Cuidado com o teste do termo geral: ele só prova divergência. Os erros comuns de cálculo explicam essa e outras armadilhas.

Dica: quase todo critério de convergência compara a série com uma série geométrica. Comece pela fórmula da série geométrica.