MAC128 UFRJ Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAC128 Cálculo Diferencial e Integral II é a segunda disciplina de cálculo da UFRJ, cursada no segundo período. Ela tem uma organização diferente da maioria dos Cálculo 2: a primeira metade é dedicada a equações diferenciais ordinárias, e a segunda a curvas e vetores no plano e no espaço. Este guia associa cada tema da MAC128 a exercícios com correção imediata.

O que a MAC128 cobre

O plano de ensino publicado pelo Instituto de Química divide o semestre em três blocos. O primeiro é de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: equações separáveis, fator integrante e equações lineares não homogêneas, com modelos matemáticos. O segundo trata de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, homogêneas e não homogêneas, pelo método dos coeficientes a determinar, também com modelos.

Depois da primeira avaliação, a disciplina passa para curvas e vetores no plano: funções vetoriais, equações paramétricas de retas, parábolas, elipses, hipérboles e círculos, vetores velocidade e aceleração e comprimento de arco. O semestre fecha com vetores no espaço tridimensional, retas e planos, cilindros e superfícies de revolução.

Em comparação com um Cálculo 2 internacional, a MAC128 compartilha as curvas paramétricas, o comprimento de arco e as equações separáveis, e antecipa vetores no espaço, que normalmente abrem um Cálculo 3.

Mapa de temas da MAC128

MAC128 na sequência da UFRJ

A geometria do espaço vista aqui é exatamente o que a MAC238 usa para montar integrais triplas, parametrizar superfícies e calcular integrais de linha.

Exemplos de exercícios no nível da MAC128

1. EDO linear com fator integrante. Para y' + 2y = 4, o fator é e^{2x}:

2. EDO de 2ª ordem. Em y'' - 5y' + 6y = 0, a equação característica r^2 - 5r + 6 = 0 tem raízes 2 e 3:

3. Comprimento de arco. Para r(t) = (3\cos t, 3\sin t, 4t) com 0 \le t \le 2\pi, |r'(t)| = \sqrt{9 + 16} = 5, então

Como ir bem na MAC128

• Revise integração antes das EDOs. Resolver uma EDO quase sempre termina em uma integral; use o formulário.
• Confira cada solução derivando. Substituir a resposta na equação é a melhor forma de achar erros.
• Pratique vetores com frequência na prática: produto escalar e vetorial precisam estar automáticos antes da MAC238.
• Atenção aos sinais. O guia de erros comuns de cálculo lista os deslizes mais frequentes.

Dica: para entender comprimento de arco, pense na velocidade escalar |r'(t)| integrada no tempo: distância é velocidade vezes tempo, somada aos pouquinhos.