MAC238 UFRJ Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios
Guia de estudo da MAC238 da UFRJ (Cálculo III): integrais duplas e triplas, jacobiano, integrais de linha e de superfície e teoremas de Green e Stokes.
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Código
- MAC238
- Créditos
- 4 créditos (4 horas semanais, 60 horas no semestre)
- Pré-requisitos
- MAC128 Cálculo Diferencial e Integral II
- Conteúdo
- Integrais duplas e triplas, jacobiano e mudança de variáveis, coordenadas cilíndricas e esféricas, integrais de linha, campos conservativos, Teorema de Green, integrais de superfície, rotacional e Teorema de Stokes
- Pratique aqui
- Integrais múltiplas e cálculo vetorial do Cálculo 3
Nesta página
A MAC238 Cálculo Diferencial e Integral III é a terceira disciplina de cálculo da UFRJ, cursada no terceiro período depois da MAC128. Ela leva a integração para duas e três dimensões e termina nos teoremas que ligam integrais sobre regiões a integrais sobre fronteiras. Este guia associa cada tema da MAC238 a exercícios com correção imediata.
O que a MAC238 cobre
O plano de ensino publicado pelo Instituto de Química tem quatro blocos. O primeiro é de integrais múltiplas: integral dupla e integrais iteradas em domínios limitados e fechados, aplicações, jacobiano e mudança de variáveis na integral dupla, integral tripla, aplicações e mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas.
O segundo bloco trata de integrais de linha de campos escalares e vetoriais, campos conservativos e independência do caminho, Teorema de Green e a caracterização dos campos conservativos no plano. Depois da primeira avaliação vêm as integrais de superfície (parametrização, área, integrais de campos escalares e vetoriais e aplicações) e, por fim, o rotacional, o Teorema de Stokes e campos conservativos no espaço.
Em termos internacionais, a MAC238 é a metade integral de um Calculus 3, com cálculo vetorial.
Mapa de temas da MAC238
| Tema da MAC238 | Praticar | Ler |
|---|---|---|
| Integrais duplas e iteradas | Integrais duplas em retângulos | Integrais duplas |
| Domínios gerais | Regiões gerais | Integrais duplas |
| Aplicações da integral dupla | Área, volume, massa e valor médio | Área entre curvas |
| Jacobiano e mudança de variáveis | Mudança de variáveis | Regra da substituição |
| Integrais triplas | Integrais triplas | Volumes de revolução |
| Coordenadas cilíndricas e esféricas | Cilíndricas e esféricas | Integrais duplas |
| Integrais de linha | Integrais de linha de funções | Vetores |
| Campos conservativos | Campos conservativos | Gradiente |
| Teorema de Green | Teorema de Green | Teorema de Green |
| Integrais de superfície | Integrais de superfície e fluxo | Teorema da Divergência |
| Rotacional e Teorema de Stokes | Rotacional e divergente | Teorema de Stokes |
MAC238 na sequência da UFRJ
| Disciplina | Período | O que entrega para a próxima |
|---|---|---|
| MAC118 Cálculo I | 1º | Técnicas de integração |
| MAC128 Cálculo II | 2º | Curvas, vetores, retas, planos e superfícies |
| MAC238 Cálculo III | 3º | Integrais múltiplas e cálculo vetorial |
Exemplos de exercícios no nível da MAC238
1. Integral tripla. O volume do tetraedro limitado por x + y + z = 1 e os planos coordenados:
2. Coordenadas esféricas. O volume da bola de raio R:
3. Integral de linha. Para F = (y, x) ao longo de r(t) = (t, t^2), 0 \le t \le 1:
Como F = \nabla(xy), o resultado também sai de xy em (1,1) menos em (0,0).
Como ir bem na MAC238
- Desenhe a região sempre. Limites de integração errados são o erro mais comum.
- Teste se o campo é conservativo antes de parametrizar: pode poupar uma conta inteira.
- Pratique a mudança de coordenadas na prática até reconhecer de imediato quando usar polares, cilíndricas ou esféricas.
- Revise primitivas no formulário, porque toda integral múltipla vira integrais simples.
Dica: lembre do fator \rho^2 \sin\phi em esféricas e do fator r em polares e cilíndricas. Esquecer o jacobiano é um dos erros mais frequentes nas provas.
Pratique agora
Integrais duplas sobre retângulos
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição