MAC118 UFRJ Cálculo I: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAC118 Cálculo Diferencial e Integral I é a primeira disciplina de cálculo da UFRJ, cursada no primeiro período por estudantes de Química, das engenharias e de outros cursos de exatas. O plano de ensino publicado pelo Instituto de Química descreve um semestre de 90 horas que vai de limites até integrais impróprias. Este guia associa cada tema da MAC118 a exercícios com correção imediata.

O que a MAC118 cobre

O plano de ensino organiza a disciplina em dez unidades. Começa por limites (definição, teoremas, limites laterais, no infinito e infinitos, assíntotas) e continuidade, incluindo o Teorema do Valor Intermediário. Em seguida vêm a derivada (reta tangente, definição, relação entre diferenciabilidade e continuidade) e o cálculo de derivadas: regras de soma, produto e quociente, funções trigonométricas, regra da cadeia, derivação implícita e derivadas de ordem superior.

As aplicações da derivada incluem taxas relacionadas, máximos e mínimos, Teorema de Rolle e do Valor Médio, regra de L'Hospital, testes da primeira e da segunda derivada, concavidade e esboço de gráficos. A segunda metade trata da integral definida (somas de Riemann, Teorema do Valor Médio para integrais, Teorema Fundamental do Cálculo), áreas e volumes de sólidos de revolução, funções inversas, logaritmo e exponencial, técnicas de integração e integral imprópria.

Na prática, é um Cálculo 1 completo mais as unidades de técnicas de integração e integrais impróprias de um Cálculo 2.

Mapa de temas da MAC118

A sequência de cálculo da UFRJ

Os períodos acima são os indicados no plano de ensino do Instituto de Química; outros cursos podem organizar a grade de outra forma.

Exemplos de exercícios no nível da MAC118

1. Assíntota horizontal.

logo y = 3 é assíntota horizontal.

2. Taxa relacionada. O raio de um círculo cresce a 2 cm/s. Como A = \pi r^2, \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}. Quando r = 5 cm, \frac{dA}{dt} = 20\pi cm²/s.

3. Integral imprópria.

Como ir bem na MAC118

• Estude limites com calma. Eles aparecem na definição de derivada, de integral e de integral imprópria.
• Pratique derivadas todos os dias na prática até as regras ficarem automáticas.
• Tenha o formulário à mão para primitivas e identidades trigonométricas.
• Revise os erros comuns de cálculo antes de cada prova.

Dica: nas técnicas de integração, comece sempre testando uma substituição simples. O guia de substituição mostra como reconhecer quando ela funciona.