CDI-III Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios

CDI-III, Cálculo Diferencial e Integral III, é a terceira unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico, no 1.º semestre do 2.º ano de cursos como a LEIC-A. Vale 6 ECTS e reúne três grandes temas: equações diferenciais ordinárias, os teoremas integrais de Gauss e de Stokes, e equações diferenciais parciais com séries de Fourier. Este guia liga cada tema a exercícios com correção imediata, sobretudo na parte de cálculo vetorial.

O que CDI-III cobre

Segundo a ficha no Fénix, o programa tem três blocos. O primeiro é de equações diferenciais ordinárias: exemplos de EDOs de primeira ordem resolúveis, fatores de integração, existência, unicidade e dependência contínua de soluções de sistemas de primeira ordem, fórmula de variação das constantes, EDOs de ordem superior a um e transformada de Laplace.

O segundo bloco trata de superfícies em \mathbb{R}^3, integrais de superfície de campos escalares e vetoriais, os teoremas de Gauss e de Stokes e a divergência e o rotacional, com a obtenção das equações de continuidade, da onda, do calor, de Laplace e de Poisson. O terceiro bloco cobre EDPs lineares de primeira ordem e as equações da onda, do calor, de Laplace e de Poisson, resolvidas por separação de variáveis e séries de Fourier trigonométricas, e termina com a transformada de Fourier.

Em termos internacionais, o segundo bloco completa um Calculus 3; os outros dois correspondem a uma disciplina de equações diferenciais.

Mapa de temas de CDI-III

As lições ligadas a Laplace e Fourier treinam as técnicas de integração que esses cálculos exigem, não as transformadas propriamente ditas.

A sequência de CDI no Técnico

CDI-III usa quase tudo o que veio antes: primitivação de CDI-I nas EDOs e nos coeficientes de Fourier, e integrais múltiplos e de linha de CDI-II nos teoremas de Gauss e de Stokes.

Exemplos de exercícios ao nível de CDI-III

1. Fator integrante. Em y' - \frac{y}{t} = t (com t > 0), o fator é \frac{1}{t}:

2. Teorema da Divergência. Para F = (x, y, z) no cubo [0,1]^3, \nabla\cdot F = 3, logo o fluxo para fora é

3. Coeficiente de Fourier. Para f(x) = x em [-\pi, \pi], os coeficientes em seno são

Como ter sucesso em CDI-III

• Organiza um resumo de métodos para EDOs. Saber reconhecer o tipo da equação é metade do trabalho.
• Revê primitivação por partes no formulário: aparece na transformada de Laplace e nos coeficientes de Fourier.
• Pratica integrais de superfície e fluxo na prática antes de aplicar Gauss e Stokes.
• Confirma sempre as orientações de superfícies e curvas. Os erros comuns de cálculo mostram outros deslizes frequentes.

Dica: Green, Gauss e Stokes dizem a mesma coisa em dimensões diferentes. Resolver um exercício pelos dois lados da igualdade é a melhor forma de fixar os enunciados.