CDI-I Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios

CDI-I, Cálculo Diferencial e Integral I, é a primeira unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa, no 1.º semestre do 1.º ano de cursos como a Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores (LEIC-A). Vale 6 ECTS e cobre todo o cálculo a uma variável, das bases teóricas dos números reais até às séries de Taylor. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que CDI-I cobre

Segundo a ficha da unidade curricular no Fénix, o objetivo é dominar os conceitos e as técnicas do cálculo diferencial e integral a uma variável. O programa começa nos números reais (axiomas algébricos, de ordem e do supremo), números naturais e indução matemática, e sucessões com o conceito de limite. Seguem-se funções reais de variável real, limites e continuidade, funções elementares e as propriedades globais das funções contínuas: os teoremas do valor intermédio e de Weierstrass.

A parte diferencial inclui o conceito de derivada, derivadas das funções elementares, os teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy, a regra de l'Hôpital, derivadas de ordem superior e funções inversas. A parte integral trata da primitivação (por partes, por substituição e de funções racionais), do integral de Riemann, do Teorema Fundamental do Cálculo e da regra de Barrow, com aplicações ao cálculo de áreas, à definição de funções como o logaritmo, a função erro e a função gama, e a equações diferenciais separáveis. O programa termina com o polinómio de Taylor, séries numéricas, critérios de convergência, séries de potências e séries de Taylor.

Em termos internacionais, CDI-I corresponde a um Cálculo 1 completo mais as unidades de técnicas de integração e de séries de um Cálculo 2.

Mapa de temas de CDI-I

A sequência de CDI no Técnico

Cada unidade vale 6 ECTS. CDI-II exige Álgebra Linear e CDI-I, e CDI-III exige CDI-II.

Exemplos de exercícios ao nível de CDI-I

1. Indução matemática. Para provar 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}: vale para n = 1, e se vale para n, então

2. Limite de uma sucessão.

3. Primitivação por partes.

Como ter sucesso em CDI-I

• Não subestimes a parte teórica. Supremo, indução e sucessões aparecem logo nas primeiras semanas e são a base dos limites.
• Resolve exercícios todos os dias na prática, sobretudo de derivadas e primitivas.
• Tem o formulário sempre à mão para primitivas imediatas e séries de Maclaurin.
• Aprende com os erros. O guia de erros comuns de cálculo mostra os deslizes mais frequentes.

Dica: quase todos os critérios de convergência comparam com uma série geométrica. Começa pela fórmula da série geométrica antes de estudar os critérios da razão e da raiz.