CDI-II Técnico Lisboa: programa, guia de estudo e exercícios
Guia de estudo de CDI-II do Instituto Superior Técnico (ULisboa): campos escalares e vetoriais, diferenciabilidade, extremos, integrais múltiplos, Green.
Universidade de Lisboa Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Sigla
- CDI-II
- Créditos
- 6 ECTS
- Semestre
- 1.º ano, 2.º semestre (LEIC-A)
- Pré-requisitos
- Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral I
- Programa
- Topologia em R^n, campos escalares e vetoriais, limite, continuidade, diferenciabilidade e gradiente, lema de Schwarz, extremos, Taylor, hessiana, multiplicadores de Lagrange, função inversa e implícita, integrais múltiplos, integrais de linha e Teorema de Green
- Unidade seguinte
- CDI-III Cálculo Diferencial e Integral III
- Pratique aqui
- Derivadas parciais, integrais múltiplos e cálculo vetorial
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CDI-II, Cálculo Diferencial e Integral II, é a segunda unidade curricular de cálculo do Instituto Superior Técnico, no 2.º semestre do 1.º ano de cursos como a LEIC-A. Vale 6 ECTS e leva o cálculo de CDI-I para funções de várias variáveis, tanto na parte diferencial como na integral. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.
O que CDI-II cobre
Segundo a ficha no Fénix, o objetivo é o domínio do cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais com valores escalares e vetoriais e dos integrais múltiplos e de linha, incluindo teoremas fundamentais do cálculo para integrais de linha e integrais duplos, com aplicações geométricas e físicas.
O programa começa com noções topológicas em \mathbb{R}^n e sucessões, campos escalares e vetoriais, limite e continuidade, diferenciabilidade e gradiente e o teorema do valor intermédio. Seguem-se funções C^k e o lema de Schwarz, extremos e pontos de sela, o teorema de Weierstrass, a fórmula de Taylor, a matriz hessiana, os multiplicadores de Lagrange e os teoremas da função inversa e da função implícita. A parte integral trata de integrais múltiplos e aplicações, curvas, caminhos e integrais de linha, o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, o Teorema de Green e campos gradientes.
Em termos internacionais, CDI-II é quase todo um Calculus 3, com um tratamento mais teórico (topologia, função implícita).
Mapa de temas de CDI-II
A sequência de CDI no Técnico
| Unidade curricular | Pré-requisitos | Foco |
|---|---|---|
| CDI-I | Não aplicável | Uma variável, séries |
| CDI-II | Álgebra Linear e CDI-I | Várias variáveis, integrais múltiplos e de linha, Green |
| CDI-III | CDI-II | EDOs, Gauss e Stokes, EDPs e Fourier |
O Teorema de Green fecha CDI-II e é o primeiro dos grandes teoremas integrais. Os teoremas de Gauss e de Stokes, que o generalizam para três dimensões, abrem CDI-III.
Exemplos de exercícios ao nível de CDI-II
1. Matriz hessiana. Para f(x,y) = x^3 - 3x + y^2, os pontos críticos são (\pm 1, 0). A hessiana é
Em (1,0) é definida positiva (mínimo); em (-1,0) tem valores próprios de sinais opostos (ponto de sela).
2. Mudança para coordenadas polares.
3. Integral de linha de um campo gradiente. Para F = \nabla(x^2 y) de (0,0) a (2,3):
Como ter sucesso em CDI-II
- Consolida Álgebra Linear. Matrizes, determinantes e valores próprios aparecem na hessiana e na função implícita.
- Pratica derivadas parciais todos os dias na prática, até se tornarem mecânicas.
- Desenha sempre a região antes de escrever os limites de um integral múltiplo.
- Revê primitivas no formulário e os erros comuns de cálculo antes dos testes.
Dica: antes de calcular um integral de linha, verifica se o campo é um gradiente. Se for, o resultado é apenas a diferença do potencial nos extremos do caminho.
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Funções de várias variáveis
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