Análise Matemática II FEUP (L.EM010): programa, guia e exercícios

Análise Matemática II (L.EM010, sigla AM II) é a segunda unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da FEUP, no 2.º semestre do 1.º ano. Vale 6 ECTS e leva o cálculo de AM I para funções vetoriais e funções de várias variáveis. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que Análise Matemática II cobre

A ficha no Sigarra organiza o programa em cinco partes. A primeira trata de funções vetoriais de variável real: representação paramétrica de curvas em \mathbb{R}^n, limites, continuidade, derivação e integração, vetores tangente, normal principal e binormal (triedro de Frenet), velocidade e aceleração, comprimento de arco, parametrização por comprimento de arco e curvatura.

A segunda e a terceira partes estudam funções de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^m: noções topológicas, gráficos e algumas superfícies, limite e continuidade, derivadas parciais e direcionais, derivadas de ordem superior e Teorema de Schwarz, diferencial total e condições de diferenciabilidade, gradiente e matriz jacobiana, plano tangente a superfícies de nível, regras de derivação da função composta, teorema da função implícita, fórmula de Taylor e extremos livres e condicionados (multiplicadores de Lagrange).

As duas últimas partes tratam de integrais de linha de campos escalares e vetoriais, com aplicação ao trabalho, e de integrais duplos e triplos: Teorema de Fubini, regiões gerais, aplicações à geometria de massas e mudança de variáveis para coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

Em termos internacionais, AM II cobre a maior parte de um Calculus 3.

Mapa de temas de AM II

A sequência de Análise Matemática na FEUP (L.EM)

Os integrais de linha começam aqui e são aprofundados em AM III, onde surgem os campos conservativos e os teoremas de Green, Stokes e Gauss.

Exemplos de exercícios ao nível de AM II

1. Curvatura. Para a circunferência r(t) = (R\cos t, R\sin t), |r'(t)| = R e o vetor tangente unitário roda à taxa \frac{1}{R}, logo a curvatura é \kappa = \frac{1}{R}.

2. Extremo condicionado. Minimizar f = x^2 + y^2 com x + 2y = 5: de \nabla f = \lambda \nabla g vem 2x = \lambda e 2y = 2\lambda, logo y = 2x, x = 1, y = 2 e o mínimo é f(1,2) = 5.

3. Integral duplo com Fubini.

Como ter sucesso em AM II

• Desenha curvas e regiões. Ver a geometria evita a maior parte dos erros nos limites de integração.
• Pratica derivadas parciais com regularidade na prática.
• Revê primitivas de AM I no formulário: cada integral duplo ou triplo termina em integrais simples.
• Atenção ao jacobiano nas mudanças de variáveis; os erros comuns de cálculo mostram outros deslizes frequentes.

Dica: antes de um exercício de extremos condicionados, escreve claramente a função e a restrição. A maioria dos erros vem de perder soluções ao resolver o sistema de Lagrange.