Análise Matemática I FEUP (L.EM005): programa, guia e exercícios

Análise Matemática I (L.EM005, sigla AM I) é a primeira unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP), da responsabilidade da Secção de Matemática. Vale 6 ECTS, com 162 horas de trabalho, e cobre o cálculo diferencial e integral de funções reais de variável real. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata.

O que Análise Matemática I cobre

A ficha da unidade curricular no Sigarra divide o programa em três partes. A parte A, cálculo diferencial em R, retoma a definição de derivada e as regras da função composta e da função inversa, com problemas de aplicação, e estuda o Teorema dos Acréscimos Finitos (Lagrange), os diferenciais, a aproximação polinomial por polinómios de Taylor com resto, a série de Taylor como limite desses polinómios, as séries numéricas (propriedades, critérios de convergência, séries alternadas) e uma breve referência às séries de funções e ao intervalo de convergência.

A parte B, integral de Riemann em R, trata da definição e propriedades do integral, dos teoremas do valor médio para integrais e dos Teoremas Fundamentais do Cálculo, da primitivação por substituição e por partes, das áreas em coordenadas cartesianas e polares e dos volumes, e da primitivação de frações racionais, expressões trigonométricas racionais e expressões irracionais por substituição trigonométrica. A parte C junta funções hiperbólicas, integrais impróprios e equações diferenciais de primeira ordem.

Em termos internacionais, AM I corresponde ao fim de um Cálculo 1 mais as técnicas de integração, os integrais impróprios e as séries de um Cálculo 2. A ficha assume que limites e derivadas básicas já vêm do secundário.

Mapa de temas de AM I

A sequência de Análise Matemática na FEUP (L.EM)

Todas têm 6 ECTS.

Exemplos de exercícios ao nível de AM I

1. Série alternada. A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge pelo critério de Leibniz, porque \frac{1}{n} é decrescente e tende para 0, mas não converge absolutamente (série harmónica).

2. Área em coordenadas polares. A área de uma pétala de r = \cos(2\theta), com -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}:

3. Substituição trigonométrica. Com x = \sin t:

Como ter sucesso em AM I

• Resolve as folhas de exercícios semana a semana. O programa é longo e cada parte apoia-se na anterior.
• Treina primitivação todos os dias na prática: é a parte com mais técnicas diferentes.
• Tem o formulário por perto para primitivas imediatas, identidades trigonométricas e séries de Maclaurin.
• Revê os erros comuns de cálculo antes de cada teste.

Dica: na escolha entre substituição e partes, a lição escolher uma estratégia treina precisamente essa decisão.