Análise Matemática III FEUP (L.EM016): programa, guia e exercícios

Análise Matemática III (L.EM016, sigla AM III) é a terceira unidade curricular de cálculo da Licenciatura em Engenharia Mecânica da FEUP, no 1.º semestre do 2.º ano. Vale 6 ECTS e reúne equações diferenciais, cálculo vetorial e séries de Fourier. Este guia liga cada tema do programa a exercícios com correção imediata, sobretudo na parte de cálculo vetorial.

O que Análise Matemática III cobre

Segundo a ficha no Sigarra, os objetivos são transmitir técnicas de integração de equações diferenciais ordinárias e de sistemas, dar conhecimentos de cálculo integral em curvas e superfícies e dos teoremas integrais da análise vetorial, e ensinar a representação de funções periódicas em séries de Fourier.

O programa começa nas equações diferenciais: solução geral, problemas de valor inicial e na fronteira, existência e unicidade, equações homogéneas e trajetórias ortogonais, equações exatas e fator integrante, equações lineares pelo método da variação da constante, equações de Bernoulli e Riccati, equações de 2.ª ordem redutíveis à 1.ª, equações lineares de ordem n de coeficientes constantes e o método de Wronski. Seguem-se sistemas de equações lineares de 1.ª ordem e as transformadas de Laplace (translação, inversa, derivada, convolução, funções descontínuas).

A parte de cálculo vetorial cobre integrais de linha, campos irrotacionais, função potencial, campos conservativos e independência do caminho, integrais de superfície, gradiente, divergência, rotacional e laplaciano, e os teoremas de Green, Stokes e Gauss com demonstração e aplicações. O semestre termina com séries de Fourier e a equação da corda vibrante por separação de variáveis.

Mapa de temas de AM III

As lições indicadas para Laplace e Fourier treinam as técnicas de integração que esses cálculos exigem, não as transformadas em si.

A sequência de Análise Matemática na FEUP (L.EM)

Exemplos de exercícios ao nível de AM III

1. Equação exata. Em (2xy)\,dx + (x^2 + 1)\,dy = 0, como \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 1), a equação é exata e a solução geral é

2. Teorema de Stokes. Para F = (-y, x, 0) e o disco unitário no plano z = 0, \nabla \times F = (0, 0, 2), logo

3. Transformada de Laplace de uma derivada. Para y'' + y = 0 com y(0) = 0 e y'(0) = 1: s^2 Y - 1 + Y = 0, logo Y = \frac{1}{s^2 + 1} e y = \sin t.

Como ter sucesso em AM III

• Faz um quadro de tipos de EDOs e do método para cada um. Reconhecer o tipo é metade do exercício.
• Revê primitivação no formulário: aparece nas EDOs, na transformada de Laplace e nos coeficientes de Fourier.
• Pratica integrais de linha e de superfície na prática antes de aplicar Green, Stokes e Gauss.
• Verifica orientações e sinais. O guia de erros comuns de cálculo ajuda a evitá-los.

Dica: num exercício com campo vetorial, calcula primeiro o rotacional. Se for nulo num domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo e o integral de linha reduz-se à diferença do potencial.