MAT2454 USP Cálculo II: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAT2454 Cálculo Diferencial e Integral II é a segunda disciplina de cálculo da Escola Politécnica da USP. Depois de estudar funções de uma variável na MAT2453, o aluno passa a funções de duas ou mais variáveis e aprende a derivá-las, aproximá-las e otimizá-las. Este guia associa cada tema da MAT2454 a exercícios com correção imediata.

O que a MAT2454 cobre

Pela página oficial no sistema Júpiter, o objetivo é introduzir o cálculo diferencial de funções de várias variáveis. O conteúdo programático inclui limites, continuidade e diferenciabilidade, gradiente, regra da cadeia, Teorema do Valor Médio, derivadas de ordem superior, o Teorema de Schwarz (apenas o enunciado), Fórmula de Taylor, máximos e mínimos e multiplicadores de Lagrange.

Em termos internacionais, a MAT2454 é a primeira metade de um Calculus 3 (multivariable calculus). Não há integrais múltiplas: elas ficam para a MAT2455.

Mapa de temas da MAT2454

MAT2454 na sequência da Poli

Repare que a MAT2454 reaproveita quase tudo da MAT2453: o Teorema do Valor Médio, a regra da cadeia e a Fórmula de Taylor reaparecem com várias variáveis. Já o gradiente aprendido aqui é a peça central dos campos conservativos da MAT2455.

Exemplos de exercícios no nível da MAT2454

1. Derivadas parciais. Para f(x, y) = x^2 y + e^{xy}:

2. Derivada direcional. Com f(x, y) = x^2 + 3y^2 no ponto (1, 1), o gradiente é \nabla f = (2x, 6y) = (2, 6). Na direção do vetor unitário u = \left(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\right):

3. Multiplicadores de Lagrange. Maximizar f(x, y) = xy com x + y = 10. As equações \nabla f = \lambda \nabla g dão y = \lambda e x = \lambda, logo x = y = 5 e o máximo é f(5, 5) = 25.

Como ir bem na MAT2454

• Domine as derivadas parciais primeiro. Elas aparecem em todo o resto; treine na prática até não precisar pensar.
• Desenhe curvas de nível. Visualizar a função ajuda a entender gradiente, planos tangentes e pontos de sela.
• Organize os sistemas de Lagrange. A maioria dos erros vem de perder soluções ao resolver o sistema. Os erros comuns de cálculo mostram os mais frequentes.
• Use o formulário para revisar derivadas de uma variável, que continuam sendo a base de cada derivada parcial.

Dica: antes de classificar um ponto crítico, confira se ele realmente anula as duas derivadas parciais. Um sinal trocado no início compromete o teste da segunda derivada inteiro.