MAT2455 USP Cálculo III: conteúdo, guia de estudo e exercícios

A MAT2455 Cálculo Diferencial e Integral III fecha a sequência de cálculo da Escola Politécnica da USP. Se a MAT2454 ensinou a derivar funções de várias variáveis, a MAT2455 ensina a integrá-las, sobre regiões, curvas e superfícies, até chegar aos grandes teoremas do cálculo vetorial. Este guia associa cada tema a exercícios com correção imediata.

O que a MAT2455 cobre

Segundo a página oficial no sistema Júpiter, o programa tem sete blocos: transformações entre espaços reais e o jacobiano; integrais duplas e triplas; mudança de variável com coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; integrais curvilíneas e de superfície; os teoremas de Green, Gauss e Stokes; interpretações físicas de gradiente, divergente e rotacional; e campos conservativos. A ementa cita aplicações à Lei de indução de Faraday e à equação da continuidade em fluidos.

É a segunda metade de um Calculus 3 internacional, a parte de integração e cálculo vetorial.

Mapa de temas da MAT2455

MAT2455 na sequência da Poli

O gradiente da MAT2454 reaparece aqui como campo conservativo, e o Teorema de Green é a versão em duas dimensões do Teorema Fundamental do Cálculo da MAT2453.

Exemplos de exercícios no nível da MAT2455

1. Integral dupla em coordenadas polares. A área do disco x^2 + y^2 \le 4:

2. Integral de linha de um campo conservativo. O campo F = (2x, 2y) é o gradiente de \varphi = x^2 + y^2. De (0,0) a (1,2), por qualquer caminho:

3. Teorema de Green. Para F = (-y, x) no disco unitário, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2, então

Como ir bem na MAT2455

• Desenhe sempre a região. Quase todo erro em integrais múltiplas está nos limites de integração.
• Escolha bem as coordenadas. Discos e cilindros pedem polares ou cilíndricas; esferas pedem esféricas. Pratique essa decisão na prática.
• Verifique se o campo é conservativo antes de calcular. Isso pode transformar uma integral longa em uma subtração.
• Revise as integrais de uma variável no formulário: no fim, toda integral múltipla vira uma sequência de integrais simples.

Dica: para cada teorema (Green, Gauss, Stokes), resolva pelo menos um exercício pelos dois lados da igualdade. Ver os dois números coincidirem fixa o enunciado.